Extremwertaufgabe: Welche Methodik wann?

18.01.2017, 12:44	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Welche Methodik wann? Hallo, ich bin gerade dabei zu verstehen, wann ich welche Methodik beim lösen von Extremwertaufgaben anwende. Im Prinzip gibt es 2 Methoden: 1. Methode: Ganz normal die Ableitungen bzw. Jacobi und Hesse Matrix anschauen, sowie den Rand durch einsetzten. 2. Methode: Lagrange-Multiplikatoren Wobei man das wohl auch mischen kann. Jedenfalls kriege ich nun eine Aufgabe und muss entscheiden: Was mache ich? Ich würde also gerne hier nochmal ein Beispiel durchgehen. (Nochmal, da ich einen ähnlichen Thread schon habe) Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \| x^2+^2y^2+3z^2\leq 1\} \end{eqnarray}$ Finden Sie alle globalen Extremalstellen der Funktion $\begin{eqnarray} f: A\to\mathbb R, \quad f(x,y,z)=x^2-y^2+1 \end{eqnarray}$ Was sind die jeweiligen Funktionswerte? Handels es sich jeweils um Maxima oder um Minima? Lösung: Gefragt sind globale Extrema. Wir müssen also den Rand mitbetrachten. Betrachte $\begin{eqnarray} \mathring{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} df=(2x,2y,0)\overset{!}{=}0 \Rightarrow p_1=(0,0,0) \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} 0^2+2\cdot 0^2+3\cdot 0^2\leq 1 \end{eqnarray}$ Also ist das ein gültiger Punkt. Betrachte $\begin{eqnarray} \partial A \end{eqnarray}$ Wir sehen, diese Menge ist irgendeien Art Hyperboloid o.ä. Also einfach zu parametrisieren. Wir definieren daher: $\begin{eqnarray} g(x,y,z):=x^2+2y^2+3z^2-1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L=f-\lambda g \end{eqnarray}$ Nun: $\begin{eqnarray} L=f-\lambda g=x^2-y^2+1-\lambda(x^2+2y^2+3z^2-1)\overset{!}{=}0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial x} = 2x-2x\lambda \overset{!}{=} 0 \Rightarrow \lambda =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial y} = -2y-4y\lambda \overset{!}{=} 0 \Rightarrow y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial z} = -6z\lambda \overset{!}{=} 0 \Rightarrow z=o \end{eqnarray}$ Mittels der Nebenbedingung folgt: $\begin{eqnarray} x=\pm 1 \end{eqnarray}$ Wir bekommen also die Kandidaten $\begin{eqnarray} p_2 =(1,0,0), p_3=(-1,0,0) \end{eqnarray}$ Wir sehen wieder, dass $\begin{eqnarray} (\pm 1)^2 +0 +0 \leq 1 \end{eqnarray}$ , also passt das wirklich. Auswertung $\begin{eqnarray} Hess(L)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-6&0\\0&0&-6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix ist negativ semi-definit. Also sind die Punkte $\begin{eqnarray} p_2, p_3 \end{eqnarray}$ ein Maxima. Wir erwarten also ein Minima in $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Hess(f)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese ist positiv semi definit, also ist $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ ein Minimum. $\begin{eqnarray} f(p_1) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(p_2)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(p_3)=2 \end{eqnarray}$ Frage 1: Stimmt das? Frage 2: Ich bin mir über die Anwendung der Methodik hier unsicher. Ich verstehe, das ich bei globalen Extrem das Innere sowie den Rand untersuchen muss. Dass ich das Innere mittels der Jacobi Matrix betrachte, ist mir auch klar. Ich habe hier für den Rand die Lagrange-Multiplikatoren benutzt. Sehe ich es richtig, dass das hier nur funktioniert hat, weil meine Funktion gerade auf A eingeschränkt wurde? Frage 3: Wäre meine Funktion nicht auf A eingeschränkt, sondern auf eine, sagen wir mal, grössere Menge, dann hätte ich einfach "den Rand einsetzten müssen", oder? Frage 4: Wäre die Funktion garnicht eingeschränkt gewesen, sondern von $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ nach irgendwas, so hätte ich bei der Frage nach Globalen Extrem die Funktion per Limes untersucht, oder?

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