Stationärer Zustand von Markov Matrix

18.01.2017, 15:54

Der_Apfel

Stationärer Zustand von Markov Matrix

Wie bestimme ich den stationären Zustand einer Markov-Matrix? Ich finde dazu über google nichts. Folgende Matrix ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}0.2 & 1\\0.8 & 0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte sind 1 und 0.8, Eigenvektoren sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Stationärer Zustand ist wohl immer der Eigenvektor mit dem Eigenwert 1, oder? Wie genau bestimme ich den stationären Zustand in diesem Fall?

Liebe Grüße

18.01.2017, 20:50

Helferlein

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Ein Eigenwert und ein Eigenvektor ist falsch.

18.01.2017, 22:00

Der_Apfel

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Ich hatte das verwechselt. Eigenwerte sind 1 und -0.8 und der andere Eigenvektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}\frac{5}{4}\\1\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ich hab trotzdem keine Ahnung wie ich auf den stationären Vektor komme unglücklich

18.01.2017, 22:08

Helferlein

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Vielleicht sollten wir erst einmal klären, was Du dabei nicht verstehst.
Du hast doch selber geschrieben, dass der Eigenvektor zum Eigenwert 1 gleichzeitig auch stationärer Vektor der Matrix ist.

Wo liegen jetzt deine Schwierigkeiten:

Ist Dir unklar, wie man auf den Vektor kommt?
Verstehst Du nicht, weshalb dieser Vektor ein stationärer ist?
Oder ist das alles klar und Du meinst etwas ganz anderes?

18.01.2017, 22:52

Der_Apfel

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Danke für deine Hilfe,

In der Lösung ist der stationäre Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}\frac{5}{9}\\\frac{4}{9}\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Verstehst Du nicht, weshalb dieser Vektor ein stationärer ist?

Ja, das ist es wohl. Beim "Anfangswertproblem" gibt es auch einen stationären bzw. stabilen Zustand dort schreibt man das ja so:

$\begin{eqnarray*} u(t) = c_{1} * e ^ {\lambda_{1} t} * x_{1} + c_{2} * e ^ {\lambda_{2} t} * x_{2} \end{eqnarray*}$

Bei einer Markovmatrix ist ein Eigenwert 1, die restlichen sind < 1. Allerdings bräuchte ich dafür doch einen Anfangswert bzw. die c-Konstanten?
Bei der Matrix-Diagonalisierung würde man dann schreiben:
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}\frac{5}{4}&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{5}{4}&1\\1&-1\end{bmatrix}^{-1} t \to \infty: \begin{bmatrix}\frac{5}{4}&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{5}{4}&1\\1&-1\end{bmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Allerdings kommt da bei mir auch nicht die Lösung raus.
Bin gerade etwas verwirrt...

19.01.2017, 00:32

Helferlein

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Also reden wir jetzt über Differentialgleichungen und befinden uns nicht mehr in der Schulmathematik ?

Ich war bislang davon ausgegangen, dass es um Prozessmatrizen geht. Unter einem stationären Zustand wird dort eine Lösung der Gleichung Av=v verstanden, weil sich der Zustandsvektor v durch den Prozess, den die Matrix A beschreibt, nicht ändert. v ist somit ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1.

Wenn es nun aber um Differentialgleichungen der Form y'=Ay geht, sieht die Situation anders aus. Dann wäre eine stationäre Lösung gerade ein Element des kerns von A, was aber mit der ursprünglichen Frage nach einem Eigenvektor zum Eigenwert eins nichts zu tun hat und zudem eher ins Analysis Hochschulforum gehört.

19.01.2017, 17:10

Der_Apfel

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Wie komme ich nun auf $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}\frac{5}{9}\\\frac{4}{9}\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das ist ja auch ein Eigenvektor vom Eigenwert 1, $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}\frac{5}{4}\\1\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ aber auch?

19.01.2017, 19:31

Helferlein

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Richtig, aber vermutlich hast Du es mit Wahrscheinlichkeiten zu tun? Dann muss die Gesamtwahrscheinlichkeit der zwei Zustände gerade 1 sein und das ist nur bei dem angegebenen Vektor der Fall.

19.01.2017, 20:07

Der_Apfel

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Selbst wenn ich die Matrix eliminiere von:

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} -0.8 & 1\\ 0.8 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

nach:

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{5}{4}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es für mich nicht ersichtlich.
Eigentlich ist der Eigenvektor der Lösung linear abhängig von meiner Lösung, man multipliziert den Vektor einfach mit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ . Nur wie komme ich auf diesen Faktor?

19.01.2017, 20:31

Helferlein

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Wie oben schon gesagt: Markov-Matrizen stehen meistens im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten . Der Vektor ist demnach ein Wahrscheinlichkeitsvektor dessen Komponenten sich zu eins addieren und zwischen Null und eins liegen.

20.01.2017, 23:04

CXC

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Hallo,

vielleicht vertieft es die Einsicht in die Sachverhalte, folgende thematisch verwandte Aufgabe zu betrachten:
http:/mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/17943.html

... insbesondere in den Sachverhalt, dass es hier wie dort um einen Vektor geht, "(Helferlein) dessen Komponenten sich zu eins addieren". Auf den ersten Blick scheint die dortige Aufgabe vielleicht nichts mit dem Thema dieser Aufgabe hier gemeinsam zu haben, aber gesucht ist auch da im Prinzip ein stationärer Vektor des dortigen Problems (der als "Fixvektor" bezeichnet wird). Die Matrix, die hier schon zu Anfang der Aufgabenstellung gegeben ist, muss man sich dort erst noch als Zwischenergebnis selbst aufstellen.

Dieses Zwischenergebnis lässt aufgrund seines Zustandekommens aus Wahrscheinlichkeiten gar keine andere Form zu, als die Form, in der "(Helferlein) die Gesamtwahrscheinlichkeit der zwei Zustände gerade 1" ist.

Auf Wunsch werde ich die Matrix, die dort nicht explizit aufgeschrieben ist, gerne hier angeben.

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