Notationsfrage zu Flussintegralen

18.01.2017, 14:59	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Notationsfrage zu Flussintegralen Hallo, Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^3\to \mathbb R, f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray}$ ein vektorfeld und sei $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ die Oberfläche der Einheitssphäre. (r=1) Sei n das äussere Einheitsnormalenfeld auf $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int_{S^2} grad(f)\cdot n do \end{eqnarray}$ Direkt und per Gauss. Ich habe hier ein paar Fragen zur Notation. direkt 1. Wir parametrisieren $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \Phi(u,v) \end{eqnarray}$ unsere Parametrisierung. 2. Berechne $\begin{eqnarray} \Phi_u \times \Phi_v = \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \end{eqnarray}$ 3. Jetzt prüfe ich meist nach, ob $\begin{eqnarray} \Phi_u \times \Phi_v \end{eqnarray}$ in die korrekte Richtung weist. Es ist ja $\begin{eqnarray} n:=\frac{\Phi_u \times \Phi_v }{\|\Phi_u \times \Phi_v \|} \end{eqnarray}$ Frage 1: Sollte ich n explizit ausrechnen, sprich: Sollte ich explizit $\begin{eqnarray} \Phi_u \times \Phi_v \end{eqnarray}$ normieren? [Wäre ja unnötige Arbeit, da es später eh weggekürzt wird.] Gauss Mit Gauss würde ich es folgendermassen rechnen: $\begin{eqnarray} div(grad(f))=6 \end{eqnarray}$ Wir haben ein geschlossenes Volumen. Sei $\begin{eqnarray} \partial G = S^2 \end{eqnarray}$ , dann: $\begin{eqnarray} \int_{\partial G} grad(f) n do = \int_{G} div(grad(f))d\mu = 6 \int_G d\mu = 6 Vol(G) = 6 \frac{4}{3}{\pi} = 8\pi \end{eqnarray}$ Frage 1: Da $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ als Fläche gegeben ist, kann ich beim Wechsel zu Gauss das Volumen nicht als $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ schreiben. Daher habe ich $\begin{eqnarray} \partial G \end{eqnarray}$ definiert. Ginge aber auch folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{S^2} grad(f) n do = \int_{Vol(S^2)} div(grad(f)) d\mu \end{eqnarray}$ ? Frage 2: Darf ich so frech einfach die Volumensformel hinschreiben oder sollte ich das explizit berechnen? Frage 3: Kann ich immer $\begin{eqnarray} d\mu \end{eqnarray}$ schreiben?
19.01.2017, 08:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage 1: Soll man den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ bei einem Flussintegral explizit normieren? Antwort 1: Nein, der Normierungsfaktor kürzt sich ohnehin weg, wie du richtig schreibst. Man sollte nur das vektielle Flächenelement $\begin{eqnarray} d\vec A \end{eqnarray}$ berechnen (zweites Integral). $\begin{eqnarray} I=\int \vec F\cdot \underbrace{\tfrac{\tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial v}}{\left \|\tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial v} \right \|}}_{\vec n}\,\,\underbrace{\left \|\tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial v} \right \|du dv}_{dA} =\int \vec F\cdot \underbrace{\tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial u} \times \tfrac{\partial \vec \Phi}{\partial v}\,\,dudv}_{d\vec A} \end{eqnarray}$ Frage 2: Kann man folgendes schreiben? $\begin{eqnarray} \underbrace{\int (\nabla f\cdot \vec n) \,\,dA}_{\text{Flächenintegral}}=\underbrace{\int \Delta f\,dV}_{\text{Volumenintegral}} \end{eqnarray}$ , Abkürzung: $\begin{eqnarray} \nabla =\text{grad} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Delta =\text{div grad} \end{eqnarray}$ Antwort 2: Ja das kann man so schreiben.
19.01.2017, 09:14	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »