Teleskopsumme

18.01.2017, 20:59	EMP_Rockhand	Auf diesen Beitrag antworten »
Teleskopsumme Meine Frage: Hallo Ich sitze vor folgender Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n\geq 1} (x_{n+1}-x_{n} ) \end{eqnarray}$ konvergiert genau dann, wenn die Folge $\begin{eqnarray} ( x_{n}) \end{eqnarray}$ konvergiert. Meine Ideen: Ich bin mir darüber im Klaren, dass hier etwas gewaltig nach Teleskopsummen bzw. -Reihen schreit. Jedoch ist dieser Ansatz bisher immer nur hilfreich gewesen, wenn man einen genauen Grenzwert ausrechnen sollte. Hier geht es ja um Konvergenz allgemein. Ich verstehe nicht ganz, wie ich mit der Konvergenz der Folge die Konvergenz der Reihe Beweise bzw andersherum da ja hier Äquivalenzpfeile stehen. Vielen Dank schon mal im Voraus! Edit (Nick): Latex-Tags ergänzt.
18.01.2017, 21:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu beweisen, dass aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty (x_{n+1}-x_n) \end{eqnarray}$ folgt, zeige, dass $\begin{eqnarray} s_k:=\sum_{n=1}^k (x_{n+1}-x_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. (Dabei hast du es mit besagter Teleskopsumme zu tun. ) Für die andere Richtung benutzt du am besten, dass oben definiertes $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist.
18.01.2017, 21:20	EMP_Rockhand	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Cauchy Folge zeigen, bedeutet ja zu zeigen, dass die Folge konvergent ist ohne dabei auf den exakten Grenzwert einzugehen. Wenn ich mir jetzt die von dir beschriebene Partialsumme angucke kommt man ja auf $\begin{eqnarray} S_{k} := x_{k+1} - x_{1} \end{eqnarray}$ Wenn ich da jetzt mein k laufen lasse, habe ich doch nicht viel gewonnen oder?
18.01.2017, 21:29	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ne, Blödsinn. Vergiss für die erste Richtung das mit der Cauchyfolge. Das war natürlich viel zu kompliziert. Wie es kürzer geht, hast du schon geschrieben: $\begin{eqnarray} s_k=x_{k+1}-x_1 \end{eqnarray}$ Für die Konvergenz der Reihe musst du zeigen, dass der Grenzwert der Partialsummen $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} s_k=\lim_{k\to\infty} (x_{k+1}-x_1) \end{eqnarray}$ existiert. Jetzt weißt du aber, dass die Folge $\begin{eqnarray} (x_k) \end{eqnarray}$ konvergiert. Also...
18.01.2017, 21:41	EMP_Rockhand	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das Ist der Punkt der mir fehlt. Was ich mir jetzt vorstellen könnte ist folgendes: Wenn $\begin{eqnarray} (x_{k}) \end{eqnarray}$ konvergiert, heißt das ja, dass wenn ich k gegen unendlich laufen lasse wir irgendeinen Wert haben gegen den die ganze Chause läuft. Im Unendlichen ist das dann mit $\begin{eqnarray} x_{k+1} \end{eqnarray}$ genau so. Da ich dann immer noch einen festen Wert abziehe ändert sich an dem Konvergenzverhalten nichts mehr sondern verschiebt nur den Grenzwert. Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass das stimmt
18.01.2017, 21:45	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte das nicht stimmen? $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} x_{k+1}=\lim_{k\to\infty} x_k \end{eqnarray}$ (zumindest anschaulich sollte das klar sein); und dieser Grenzwert existiert nach Voraussetzung. Also: $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} s_k=\lim_{k\to\infty} (x_{k+1}-x_1)=\lim_{k\to\infty} x_{k+1}-x_1=\lim_{k\to\infty} x_k-x_1 \end{eqnarray}$ . Und da hast du jetzt den Grenzwert der Reihe.
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18.01.2017, 21:52	EMP_Rockhand	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah vielen Dank! Ist das formal in Ordnung, wenn wir vorgegeben haben das $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ konvergiert und wir mit $\begin{eqnarray} (x_{k}) \end{eqnarray}$ argumentieren ? Und die Rückrichtung funktioniert genauso?
18.01.2017, 21:54	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du den Index nun nennst, ist völlig egal. Das ist nur ein Name. Für die Rückrichtung brauchst du eigentlich auch nur benutzen, dass $\begin{eqnarray} s_k=x_{k+1}-x_1 \end{eqnarray}$ .

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