Koordinatentransformation Dgl 2.Ordnung

18.01.2017, 22:13	TBBT	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation Dgl 2.Ordnung Meine Frage: Hallo zusammen, ich komme mit einer Aufgabe nicht so zu Recht und wäre für jeden Tipp sehr dankbar. Aufgabe: Betrachten Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c,d,e,f \end{eqnarray}$ , gegebener rechte Seite $\begin{eqnarray} r(x,y) \end{eqnarray}$ und gesuchten Funktion $\begin{eqnarray} u(x,y) \end{eqnarray}$ . Führen Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} \chi=\phi(x,y), \eta=\psi(x,y) \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \chi \\ \eta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma_1 & 0 \\ 0 & \gamma_2 \end{pmatrix} Q \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma_1,\gamma_2>0 \end{eqnarray}$ durch, wobei $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ orthognal mit und $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray}$ Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zeige, dass für $\begin{eqnarray} \theta(\phi(x,y),\psi(x,y))=u(x,y) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}=\lambda_1\gamma_1^2\theta_{\chi\chi}+\lambda_2\gamma_2^2\theta_{\eta\eta} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Die gegebene rechte Seite habe ich umgeschrieben als $\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}, \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) A\begin{pmatrix} \frac{\partial{u}}{\partial x} \\ \frac{\partial{u}}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann habe ich $\begin{eqnarray} A=Q^T \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} Q\\ \end{eqnarray}$ eingesetzt und im nächsten Schritt $\begin{eqnarray} \frac{\partial{u}}{\partial x} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac{\partial{\theta}}{\partial \chi}\begin{pmatrix} \gamma_1 & 0 \\ 0 & \gamma_2 \end{pmatrix}Q\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ersetzt. Ich habe dann weiter rumgerechnet, aber irgendwie bekomme ich nicht das Ergebnis raus, was zu zeigen ist. Dank im Voraus!

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