Beispiel von Bedingter Erwartung

19.01.2017, 08:58

lissy1234567

Beispiel von Bedingter Erwartung

Meine Frage:
Hey,

Ich möchte Folgendes lösen:
Ich will ein Beispiel dafür angeben, dass E[E[X|A]|F] = E[E[X|F]|A] nicht immer gelten muss, also ein Beispiel, das diese Aussage widerlegt. F und A sind dabei sigma-Algebren.

Meine Ideen:
Naja, bestimmt muss es dafür ein Beispiel geben, das ganz leicht und offensichtlich ist, allerdings fällt mir nix ein. Ich bin auch schon leider ohne Erfolg einige Skripte durchgegangen.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen und zum Verständnis beitragen.

Liebe Grüße und habt einen schönen Tag!
lissy

19.01.2017, 10:06

HAL 9000

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Nun, ganz so leicht ist es nicht, z.B. dürfen in dem Beispiel weder $\begin{align*} \mathcal{F} \end{align*}$ noch $\begin{align*} \mathcal{A} \end{align*}$ gleich der trivialen Sigma-Algebra $\begin{align*} \{\emptyset,\Omega\} \end{align*}$ sein, weil dann auf beiden Seiten $\begin{align*} E[X] \end{align*}$ steht, und damit Gleichheit herrscht. Es bringt auch nichts, eine der Sigma-Algebren (z.B. $\begin{align*} \mathcal{A} \end{align*}$ ) so zu wählen, dass $\begin{align*} X \end{align*}$ bzgl. ihr messbar ist, denn in dem Fall steht dann auf beiden Seiten $\begin{align*} E[X \mid \mathcal{F}] \end{align*}$ . Man muss sich also schon etwas gerisseneres ausdenken, zwischen diesen beiden Extrempolen. Augenzwinkern

Beispiel: "vereinfachter" Würfel mit nur drei Werten $\begin{align*} \Omega=\{1,2,3\} \end{align*}$ , Zufallsgröße $\begin{align*} X=\omega \end{align*}$ sowie die Ereignisse $\begin{align*} B=\{1\} \end{align*}$ und $\begin{align*} C=\{2\} \end{align*}$ . Betrachten wir die beiden Sigma-Algebren

$\begin{align*} \mathcal{A} = \left\{ \emptyset, B, B^c, \Omega \right\} = \left\{ \emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \Omega \right\} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, C, C^c, \Omega \right\} = \left\{ \emptyset, \{2\}, \{1,3\}, \Omega \right\} \end{align*}$ .

Damit klappt es, d.h., man kann für dieses Beispiel $\begin{align*} E\left[E[X \mid \mathcal{A}] \mid \mathcal{F}\right] \neq E\left[E[X \mid \mathcal{F}] \mid \mathcal{A}\right] \end{align*}$ nachweisen, einfach indem man beide Erwartungen ausrechnet.

19.01.2017, 10:19

lissy1234567

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Hm, könntest du mal einen der beiden Erwartungen so nachrechnen? verwirrt

19.01.2017, 10:32

HAL 9000

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Ich hatte natürlich noch vergessen zu erwähnen, dass wir einen Laplaceschen W-Raum betrachten, also $\begin{align*} P(\{\omega\})=\frac{1}{3} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} \omega\in\Omega \end{align*}$ . War vielleicht eh klar, sollte aber dennoch erwähnt werden. Augenzwinkern

Ok, ich betrachte mal die "schwierigere" Hälfte: Es ist

$\begin{align*} E[X \mid B] = E[\omega \mid \omega=1] = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} E[X \mid B^c] = E[\omega \mid \omega\in\{2,3\}] = \frac{1}{2}\left(2+3\right) = 2.5 \end{align*}$ .

Ingesamt kann man damit schreiben $\begin{align*} E[X \mid \mathcal{A}](\omega) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für $\omega\in B$, d.h., $\omega=1$}\\ 2.5 & \; \mbox{für $\omega\in B^c$, d.h., $\omega\in\{2,3\}$}\end{cases} \end{align*}$ .

Dies nun eingesetzt:

$\begin{align*} E\left[E[X \mid \mathcal{A}] \mid C\right] = E\left[E[X \mid \mathcal{A}] \mid \omega=2\right] = E[X \mid \mathcal{A}](2) = 2.5 \end{align*}$

$\begin{align*} E\left[E[X \mid \mathcal{A}] \mid C^c\right] = E\left[E[X \mid \mathcal{A}] \mid \omega\in\{1,3\}\right] = \frac{1}{2}\left( E[X \mid \mathcal{A}](1) + E[X \mid \mathcal{A}](3) \right] = 1.75 \end{align*}$ ,

also wiederum gemeinsam geschrieben

$\begin{align*} E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \mid \mathcal{F}\right](\omega) = \begin{cases} 2.5 & \;\mbox{für $\omega\in C$, d.h., $\omega=2$}\\ 1.75 & \; \mbox{für $\omega\in C^c$, d.h., $\omega\in\{1,3\}$}\end{cases} \end{align*}$ .

So, dasselbe nun für $\begin{align*} E\left[ E[X \mid \mathcal{F}] \mid \mathcal{A}\right] \end{align*}$ - dein Part!

19.01.2017, 10:44

lissy1234567

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super, hab es schon raus!
Ganz zum Schluss kommt 2 für w aus B und 1.5 für w aus B^C raus smile

19.01.2017, 10:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von lissy1234567
Ganz zum Schluss kommt 2 für w aus B und 1.5 für w aus B^C raus smile

Nein.

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Als Kontrolle für derartige Rechnungen: Für $\begin{align*} \mathcal{B}\subseteq \mathcal{A} \end{align*}$ gilt stets

$\begin{align*} E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \mid \mathcal{B}\right] = E[X \mid \mathcal{B}] \end{align*}$ ,

was speziell für das triviale $\begin{align*} \mathcal{B} = \{\emptyset,\Omega\} \end{align*}$ dann $\begin{align*} E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \right] = E[X] \end{align*}$ bedeutet.

Daher muss $\begin{align*} E\left[ E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \mid \mathcal{F}\right] \right] = E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \right] = E[X] \end{align*}$ gelten, genauso für den anderen.

Für den ersten klappt das, denn

$\begin{align*} E\left[ E\left[ E[X \mid \mathcal{A}] \mid \mathcal{F}\right] \right] = 2.5\cdot P(\omega=2) + 1.75\cdot P(\omega\in\{1,3\}) = 2.5\cdot \frac{1}{3} + 1.75\cdot \frac{2}{3} = 2 \end{align*}$ ,

das entspricht $\begin{align*} E[X] \end{align*}$ . Hingegen ergibt die Rechnung mit deinem Ergebnis für den zweiten Erwartungswert

$\begin{align*} E\left[ E\left[ E[X \mid \mathcal{F}] \mid \mathcal{A}\right] \right] \stackrel{?}{=} 2\cdot P(\omega=1) + 1.5\cdot P(\omega\in\{2,3\}) = 2\cdot \frac{1}{3} + 1.5\cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\neq 2 \end{align*}$ ,

also ist irgendwas schiefgegangen. unglücklich

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