Goniometrische Gleichung

19.01.2017, 15:52

Cevas

Goniometrische Gleichung

Meine Frage:
Löse nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} tan(2x)-cotan(x)=8cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe einiges probiert, es klappt einfach noch nicht:
$\begin{eqnarray*} tan(2x)-cotan(x)=8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2*tan(x)}{1-tan^2(x)}-\frac{1}{tan(x)}=8*\frac{1}{1+tan^2(x)} \end{eqnarray*}$
Ich habe tan(x) durch t substituiert und bekomme
$\begin{eqnarray*} \frac{2*t}{1-t^2}-\frac{1}{t}=8*\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (t^2+2t-1)(1+t^2)=8t(1-t^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^4+10t^3-6t-1=0 \end{eqnarray*}$
für mich unlösbar!!

19.01.2017, 16:54

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrie

Zitat:

Original von Cevas
$\begin{eqnarray*} \frac{2*t}{1-t^2}-\frac{1}{t}=8*\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t^2+2t-1)(1+t^2)=8t(1-t^2) \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, da stimmt was nicht. Schau da noch mal hin.

Viele Grüße
Steffen

19.01.2017, 17:30

Cevas

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RE: Trigonometrie

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Cevas
$\begin{eqnarray*} \frac{2*t}{1-t^2}-\frac{1}{t}=8*\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t^2+2t-1)(1+t^2)=8t(1-t^2) \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, da stimmt was nicht. Schau da noch mal hin.

Viele Grüße
Steffen

Danke sehr, da muss ich mich korrigieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{2*t}{1-t^2}-\frac{1}{t}=8*\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3 t^2-1)(1+t^2)=8t(1-t^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 t^4 + 8 t^3 +2 t^2 - 8 t -1 = 0 \end{eqnarray*}$

19.01.2017, 18:08

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrie
In der Tat. Leider macht das die Sache nicht einfacher, ich hatte es nur kurz angeschaut und gehofft, es löst sich dann alles auf.

So hilft es nichts: die quartische Gleichung muss geknackt werden, zum Beispiel hiermit.

19.01.2017, 18:14

Mathema

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Deutlich einfacher wird es allerdings mit einem Pluszeichen auf der linken Seite. Dann kann man über trigonometrische Beziehungen sehr schön eine Produktgleichung herstellen und erhält auch "schönere" Lösungen. Daher nur zur Sicherheit noch mal die Frage:
Steht ja wirklich ein Minuszeichen?

Sorry für die kleine Zwischenfrage. Bin dann auch wieder weg (nicht ohne Steffen einen lieben Gruß hier zu lassen.)

Wink

19.01.2017, 18:24

zyko

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Mein Vorschlag:
tan und cotan über sin und cos ausdrücken. Danach die Nenner durch Multiplikation beseitigen. Nach dem Ausmultiplizieren sin-Terme durch cos ersetzen--> kubische Gleichung für cos. Gemeinsamer Faktor ausklammen --> Produkt==0, wenn ein Faktor 0 ist.
Restliche Lösungen über quadratische Gleichung.

19.01.2017, 18:29

Cevas

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RE: Trigonometrie

Zitat:

Original von Steffen Bühler
In der Tat. Leider macht das die Sache nicht einfacher, ich hatte es nur kurz angeschaut und gehofft, es löst sich dann alles auf.

So hilft es nichts: die quartische Gleichung muss geknackt werden, zum Beispiel hiermit.

Vielen Dank für den Tipp Steffen!!
Ich habe es eingegeben, man bekommt leider nur unschöne Werte?
-2,2726443120854487 und 0,5380012865132626. Die anderen 2 sind Komplex und deshalb ausgeschlossen.

19.01.2017, 19:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von zyko
Nach dem Ausmultiplizieren sin-Terme durch cos ersetzen--> kubische Gleichung für cos.

Wirklich nur kubisch? Will ich sehen. Augenzwinkern

19.01.2017, 21:55

Cevas

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Zitat:

Original von zyko
Mein Vorschlag:
tan und cotan über sin und cos ausdrücken. Danach die Nenner durch Multiplikation beseitigen. Nach dem Ausmultiplizieren sin-Terme durch cos ersetzen--> kubische Gleichung für cos. Gemeinsamer Faktor ausklammen --> Produkt==0, wenn ein Faktor 0 ist.
Restliche Lösungen über quadratische Gleichung.

Ich habe es mit deinem Vorschlag versucht:

$\begin{eqnarray*} tan(2x)-cotan(x)=8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x)}{cos(2x)}- \frac{cos(x)}{sin(x)}=8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3sin^2(x)cos(x)-cos^3(x)=8cos^2(x)sin(x)(cos^2(x)-sin^2(x)) \end{eqnarray*}$
Hier sehe ich keine Gleichung 3.ten sondern 4.ten Grades in cos(x). Die Koeffizienten sind con sin(x) abhägig.
Man kan aber mit cos(x) kürzen (dh. eine Lösung ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$ ) und bekommt:
$\begin{eqnarray*} 3sin^2(x)-cos^2(x)=8cos(x)sin(x)(cos^2(x)-sin^2(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(1-cos^2(x))-cos^2(x)=8cos(x)sin(x)(cos^2(x)-(1-cos^2(x)) \end{eqnarray*}$
Ich werde die Koeffizienten insgesamt nicht los!!

19.01.2017, 22:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cevas
Hier sehe ich keine Gleichung 3.ten sondern 4.ten Grades in cos(x).

Ja, das ist der "Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit", den zyko meinte austricksen zu können - aber nicht hier. smile

20.01.2017, 13:09

zyko

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Hallo Mitleser,

leider ist mir bei meinem Beitrag @zyko vom 19.01.2017 18:24 ein gravierender Fehler unterlaufen. Dummerweise habe ich auch keine Kontrollrechnung durchgeführt. Dafür muss ich mich dringend entschuldigen.

Dennoch gilt für die Nullstellensuche von
$\begin{eqnarray*} f(x)=tan(2x)-cotan(x)-8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos^2(x)-sin^2(x)}-\frac{cos(x)}{sin(x)}-8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{2sin(x)}{cos^2(x)-sin^2(x)}-\frac{1}{sin(x)}-8cos(x)\right)cos(x) \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ erhält man einen Nullstellenhinweis. Dies entspricht $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ . Man kann nach der Substitution $\begin{eqnarray*} t=tan(x) \end{eqnarray*}$ nicht einfach den gemeinsamen Nenner ignorieren, da dieser gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht.
Für den linken Faktor habe ich leider auch noch keine brauchbaren (außer numerisch "Geogebra") Lösungen.

20.01.2017, 22:39

Cevas

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Zitat:

Original von zyko
Hallo Mitleser,

leider ist mir bei meinem Beitrag @zyko vom 19.01.2017 18:24 ein gravierender Fehler unterlaufen. Dummerweise habe ich auch keine Kontrollrechnung durchgeführt. Dafür muss ich mich dringend entschuldigen.

Dennoch gilt für die Nullstellensuche von
$\begin{eqnarray*} f(x)=tan(2x)-cotan(x)-8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos^2(x)-sin^2(x)}-\frac{cos(x)}{sin(x)}-8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{2sin(x)}{cos^2(x)-sin^2(x)}-\frac{1}{sin(x)}-8cos(x)\right)cos(x) \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ erhält man einen Nullstellenhinweis. Dies entspricht $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ . Man kann nach der Substitution $\begin{eqnarray*} t=tan(x) \end{eqnarray*}$ nicht einfach den gemeinsamen Nenner ignorieren, da dieser gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht.

Hallo Zyko
$\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
ist eine gültige Lösung der Gleichung die wir hier versuchen zu knacken:
$\begin{eqnarray*} tan(2x)-cotan(x)=8cos^2(x) \end{eqnarray*}$
oder sehe ich das falsch?

21.01.2017, 13:07

zyko

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Alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, sind Nullstellen meiner Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$
Es gibt aber noch weitere, die ich mit "Geogebra" berechnen konnte, s. Bild.
Die Nullstelle $\begin{eqnarray*} ns_3=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , die Nullstellen $\begin{eqnarray*} ns_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ns_2 \end{eqnarray*}$ wurden numerisch errechnet und die Nullstelle $\begin{eqnarray*} ns_4=\pi+ns_1 \end{eqnarray*}$ .
Da die Funktion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ periodisch ist, wiederholen sich die Nullstellen $\begin{eqnarray*} ns_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} ns_3 \end{eqnarray*}$

21.01.2017, 13:46

HAL 9000

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Der Grund, warum diese Lösung(en) $\begin{align*} \frac{\pi}{2}+k\pi \end{align*}$ oben zunächst nicht gefunden wurden:

Die Substitution $\begin{align*} t=\tan(x) \end{align*}$ oben erfasst just diese Fälle nicht, da das ja die Definitionslücken der Tangensfunktion sind. Das spricht nicht gegen diese Substitution, macht aber eine Sonderuntersuchung dieser Werte erforderlich - und diese erbringt dann, dass es sich um Lösungen der Gleichung handelt. Augenzwinkern

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