Zähldichte von Zufallsvariablen

19.01.2017, 15:59	ratlos1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Zähldichte von Zufallsvariablen Meine Frage: Heya, hab bei folgender Frage leider überhaupt keine Ahnung. Wäre über Tipps dankbar... Es geht um zwei unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen (X,Y). Ich soll die Zähldichte von X+Y bestimmen, falls (a) X geometrisch verteilt ist mit Parameter p Element (0,1) (b) X poisson verteilt mit Parameter Lambda > 0 Meine Ideen: Hab leider gar keinen Ansatz...
19.01.2017, 16:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beides sind diskret auf $\begin{align} \mathbb{N}_0 \end{align}$ verteilte Zufallsgrößen, daher ja auch der Begriff Zähldichte, damit sind gemeint die Wahrscheinlichkeitswerte $\begin{align} P(X=k) \end{align}$ für $\begin{align} k=0,1,\ldots \end{align}$ . Und die ergeben sich hier durch die diskrete Faltung: Für beliebiges $\begin{align} k\geq 0 \end{align}$ ist $\begin{align} P(X+Y=k) = \sum_{j=0}^k P(X+Y=k,X=j) = \sum_{j=0}^k P(j+Y=k,X=j) = \sum_{j=0}^k P(X=j,Y=k-j) = \sum_{j=0}^k P(X=j)\cdot P(Y=k-j) \end{align}$ letztere Gleichheit wegen der Unabhängigkeit von $\begin{align} X \end{align}$ und $\begin{align} Y \end{align}$ (vorher wurde die nicht benötigt). Einsetzen, Summe vereinfachen (soweit möglich), und das getrennt nach (a) und (b) - los geht's!

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