Basis des Kerns und des Bildes bestimmen

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19.01.2017, 17:51	gart12355	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns und des Bildes bestimmen Meine Frage: Körper: Z Modulo 7 Z betrachte die lineare Fortsetzung f:K^4 -> K^3 der Zuordnung von den Standardbasisvektoren: e1 -> (1,1,2) e2-> (2,1,1) e3 -> (3,1,0) e4-> (4,1,6) Ermintteln sie eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes von f. Meine Ideen: Also Basis des Bildes habe ich glaube ich schon, ich konnte den Vektor e3 mit 6e1 + 2e2 darstellen und dann in Gaussform noch den letzten rausgeschmissen also wäre meine Basis e1,e2. Nur bei der Basis des Kerns komme ich nicht weiter ich brauche ja Vektoren aus K^4 die auf die 0 abgebildet werden, nur habe ich keinen Ansatz welche das sein sollen.
19.01.2017, 19:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Über das Bild von f musst Du noch einmal nachdenken. Zur Bestimmung des Kerns schlagen Carl Friedrich und ich den Gauß-Algorithmus vor.
19.01.2017, 19:09	gart12355	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war mir beim Bild eigentlich relativ sicher, weil die Vektoren die dort konkret stehen ja ein EZS des Bildes sind oder nicht? Und beim Kern dachte ich müssen es ja Vektoren aus K^4 sein aber da habe ich ja keine konkreten geben.
19.01.2017, 19:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
e1 wird von f abgebildet, e1 ist nicht im Bild von f. e1 und e2 können doch als Vektoren aus K^4 nicht in im(f)<K^3 liegen.
19.01.2017, 19:48	gart12355	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ne ich habe auch quatsch geschrieben am anfang, ich meinte da nicht 6* e1 und so weiter sondern die Vektoren hinter e1.. also ich habe da für die Basis erhalten (1,1,2) (2,1,1) für das Bild. Ist das richtig? Und für den Kern muss ich da die Vektoren quasi gleich 0 setzen?
19.01.2017, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist besser. Und jetzt löst du das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \| & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 &\| & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 6 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Gauß und bist fertig.
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19.01.2017, 20:25	maro12	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe mich mal extra angemeldet, ich sitze an genau der selben Aufgabe seit 3 Tagen fest, wir sind also in derselben Vorlesung Genau das ist mein Problem, ich kriege das GLS nicht gelöst. Zum einen haben wir vier Unbekannte, jedoch nur drei Gleichungen. Zum anderen betrachten wir hier Elemente des Restklassenkörpers Modulo 7, was die Sache (zumindest im Kopf) noch erschwert. Ich habe... $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \| & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 6 & \| & 0 \end{pmatrix} = (3) + (1) \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \| & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & \| & 0 \end{pmatrix} = (3)-3 (2) \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \| & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \| & 0 \end{pmatrix} = (2) - (1) \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \| & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 4 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \| & 0 \end{pmatrix} = (1) - (2) \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 0 & \| & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 4 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \| & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Nun komme ich nicht weiter, jetzt gibt es sogar nur noch 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten, sodass ich nicht weiter sagen kann, wie ich den Kern der Abbildung bestimmen soll, wenn ich nicht einmal das GLS lösen kann.
19.01.2017, 20:59	gart12355	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh cool, wer bist du denn? Da musst du dann am Ende ich eine Variable annehmen.
19.01.2017, 21:06	maro12	Auf diesen Beitrag antworten »
Marcel du? Ich habe spaßeshalber die dritte Variable = 0 gesetzt und erhalte dann als Lösung x1 = x2 = x4 = 0 (und die von mir festgelegt Variable x3 = 0). Ist es denn egal, welche ich festlege und welchen Wert diese hat?
19.01.2017, 21:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix hat den Rang 2, also muss nach dem Dimensionssatz der Kern die Dimension 4-2=2 haben. Man setzt x3=s,x4=t und berechnet x1,x2 aus den ersten beiden Gleichungen.
19.01.2017, 21:49	maro12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhhh, vielen Dank Elvis!
19.01.2017, 22:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Standard, sowas geht im Schlaf. Gute Nacht.

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