Konvergenz bzgl. verschiedener Raumtopologien

19.01.2017, 18:47

Fenistil

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Konvergenz bzgl. verschiedener Raumtopologien

Meine Frage:
Liebes Forum,

ich habe folgende Aufgabe vorliegen und brauche eure Hilfe:
Sei $\begin{eqnarray*} u:[0,\infty)\to (0,1) \end{eqnarray*}$ eine nicht-wachsende Funktion der Klasse $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \text{lim}_{x\to\infty}u(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \text{lim}_{x\to\infty}u'(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} u_n(x):=u^n(x) \end{eqnarray*}$ .
Sind folgende Aussagen richtig (-> Beweis) oder falsch (-> Gegenbeispiel)?
a) $\begin{eqnarray*} u_n\to 0 \text{ in } L^\infty(0,\infty) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} u_n\to 0 \text{in } W^{1,\infty}(0,\infty) \end{eqnarray*}$
c) Es gibt ein n, sodass $\begin{eqnarray*} u_n\in L^1(0,\infty) \end{eqnarray*}$
d) Falls $\begin{eqnarray*} u\in L^{35}(0,\infty),\text{ dann ist }u\in W^{1,1}(0,\infty) \end{eqnarray*}$ für n "groß genug" und darüber hinaus gilt $\begin{eqnarray*} u_n\to 0 \text{ in } W^{1,1}(0,\infty) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a) habe ich mir gedacht:
Die Funktion ist fallend, d.h. sie hat ihren höchsten Wert (und das Supremum) im Punkt 0, die 1 ist als Funktionswert ausgeschlossen: $\begin{eqnarray*} u(0)=\|u\|_\infty <1 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \|u_n\|_\infty=u(0)^n<1^n \end{eqnarray*}$ , d.h. die Suprema werden immer kleiner und daher konvergiert die Folge gegen 0 in dieser Norm.

zu b):
Hier ändert sich die Norm zum Maximum des Supremums der Funktion oder der Ableitung. Bei der Sup-Norm der Funktion ändert sich ja nichts.
Ich vermute, dass die Aussage b) nicht stimmt, und das genau damit zusammenhängt, dass die Ableitungsnorm dazu kommt.
Man müsste also ein Gegenbeispiel finden, in dem die Ableitung beliebig groß wird. Die Ableitung ist wegen der fallenden Funktion $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt komme ich gerade bei einem passenden Gegenbeispiel nicht weiter.

Ich bin mir aber in allem sehr unsicher.
Kann jemand mir helfen?

19.01.2017, 19:36

Clearly_wrong

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a) Die Überlegung ist richtig, aber die Abschätzung von $\begin{align*} \|u_n\|_\infty \end{align*}$ gegen $\begin{align*} 1^n = 1 \end{align*}$ bringt dir nichts, bzw es ist das falsche Argument, warum die Normen immer kleiner werden. Die Abschätzung gegen $\begin{align*} u(0)^n \end{align*}$ ist schon sinnvoll, aber danach hast du mit der Abschätzung gegen $\begin{align*} 1 \end{align*}$ alles verschenkt.

b) Berechne doch einfach mal die Ableitung von $\begin{align*} u_n \end{align*}$ mit der Kettenregel.

c) Was ist der einfachste Funktionentyp, der dir einfällt, der die gefragten Eigenschaften hat.

d) Wenn $\begin{align*} u\in L^{35} \end{align*}$ , was weist du dann über $\begin{align*} u^{35} \end{align*}$ ?

22.01.2017, 17:41

Fenistil

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Lieber Clearly_wrong,

vielen Dank, dass du dich meiner annimmst :-)
(Ich war leider am Wochenende sehr beschäftigt, sodass ich erst jetzt mit der Aufgabe weiter machen kann.)

zu a):
Ja stimmt, ich habe das total bescheuert aufgeschrieben, heute bin ich wieder fitter und würde das in etwa so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 1<u(0)<u(0)^n, \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} u_n\in L^\infty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|u_n\|_{L^\infty}\to 0 \end{eqnarray*}$
Das ist besser oder?

zu b): $\begin{eqnarray*} <br /> \|u_n'\|_L^\infty=\|(u^n)'\|_\infty=\|nu^{n-1}u'\|_\infty=n\|u^{n-1}u'\|_\infty \end{eqnarray*}$ .
Außerdem: $\begin{eqnarray*} sup(AB)=sup(A)sup(B) \end{eqnarray*}$ und, ich würde auch sagen, es gilt $\begin{eqnarray*} \|u'\|_\infty=0 \end{eqnarray*}$ (weil die Ableitung <0 ist, aber laut Aufgabenstellung gegen 0 konvergiert).
Also gilt auch in dieser Norm, dass die Folge gegen 0 konvergiert...?

zu c):
Ich habe mal überlegt und an die e-Funktion gedacht, z B $\begin{eqnarray*} u(x)=e^{-x}\to 0,\ x\to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'(x)=-e^{-x}\to 0,\ x\to \infty \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist dann $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty u^n(x)dx=1/n<\infty \end{eqnarray*}$ , damit wäre die Behauptung wahr. Leider sagt mir das gar nichts, da es kein Gegenbeispiel, aber auch kein Beweis ist. Ich wette aber, dass die Aussage von c) nicht stimmt? :-)

zu d):
Sei $\begin{eqnarray*} u\in L^{35}, \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |u(x)|^{35}dx = \int_0^\infty |u^{35}(x)|dx <\infty \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} u^{35}\in L^1 \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2017, 18:03

Clearly_wrong

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c) Schau dir mal Konstanten an.

b) Tipp: $\begin{align*} nu^{n-1}u' = nu^{n-2}uu'\leq nu(0)^{n-2}(uu') \end{align*}$ .

a) Ja, ist besser.

d) Genau, $\begin{align*} u^{35}\in L^1 \end{align*}$ . Kommst du damit weiter?

22.01.2017, 18:50

Fenistil

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zu b):
Mir fällt gerade auf, dass die Supnorm der Ableitung nicht 0 ist, zumindest nicht aus dem von mir genannten Grund - ich hatte den Betrag in der Supnorm vergessen...
Aber ich brauche ja quasi nur, dass die Supnorm beschränkt ist, dann kann ich die Nullkonvergenz von $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ in der Supnorm benutzen.
In deinem Tipp bräuchte man dann, dass $\begin{eqnarray*} uu' \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Die Klammern hast du bestimmt nicht umsonst gesetzt, das sieht so nach partieller Integration aus? $\begin{eqnarray*} \int uu'=-\int u'u\Rightarrow uu'=0\Rightarrow u\equiv 0 \vee u'\equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} uu' \end{eqnarray*}$ insbesondere beschränkt.
Soweit erstmal. Oder bin ich komplett auf dem falschen Dampfer mit der PI? :-D

zu c):
Mh. Konstanten erfüllen aber nicht $\begin{eqnarray*} u(x)\to 0, x\to\infty \end{eqnarray*}$ (sorry, das hat der TeX-Editor oben in der Aufgabenstellung irgendwie verschluckt). Außer der 0 und die ist in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

zu d):
$\begin{eqnarray*} u_{35}\in L^1\Rightarrow u_n\in L^1,\ n\geq 35. \end{eqnarray*}$
Also Frage: $\begin{eqnarray*} \exists\ n:\ u_n'\in L^1? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int |u_n'|=n\int |u_{n-1}(x)u'(x)|dx\leq n\|u'\|_\infty\int_0^\infty |u_{n-1}|dx \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} u_{n-1}\in L^1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 36 \end{eqnarray*}$ .
Der Term wäre dann beschränkt mit dem selben (noch zu findenden) Argument wie in b): $\begin{eqnarray*} \|u'\| < \infty. \end{eqnarray*}$

22.01.2017, 19:11

Clearly_wrong

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Zitat:

(sorry, das hat der TeX-Editor oben in der Aufgabenstellung irgendwie verschluckt).

Ja, wenn das oben nicht steht, woher soll ich das dann wissen? Oben steht nur, dass das Produkt der Grenzwerte von $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} u' \end{align*}$ gleich Null sein soll und das ist bei Konstanten erfüllt.

Was soll denn da nun wirklich stehen?

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22.01.2017, 19:12

Fenistil

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Dazwischen steht einfach ein "=".
Das habe ich auch gerade erst gesehen leider, sorry!
Vielleicht etwas mit Logarithmus in c)?

22.01.2017, 19:17

Clearly_wrong

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Logarithmus ist gut für c). Probier damit mal rum.

Für b) verwende lieber die Voraussetzung, die wir gerade klargestellt haben.

22.01.2017, 19:59

Fenistil

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In der c) habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x+5)} \end{eqnarray*}$ genommen, das müsste funktionieren..

Ok, in der b) findet man dann mittels der Voraussetzung raus, dass $\begin{eqnarray*} \|u\|_\infty <\infty \end{eqnarray*}$ .
Damit folgt sodann auch in der d), dass $\begin{eqnarray*} u\in W^{1,1}([0,\infty)), \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 36 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt noch die Konvergenz gegen 0. Dann muss für beide Folgen gelten $\begin{eqnarray*} (u_n),(u_n')\to 0, \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |u_n|\to 0,\ \int_0^\infty|u_n'|\to 0,\ n\to \infty \end{eqnarray*}$ .
Wie kann man das beweisen? verwirrt

verwirrt

22.01.2017, 20:03

Clearly_wrong

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$\begin{align*} u_n \leq u(0)^{n-35} u^{35} \end{align*}$ für $\begin{align*} n \end{align*}$ groß genug. Überleg es dir selbst für die Ableitung.

22.01.2017, 20:05

Fenistil

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Mache ich! Dazu melde ich mich morgen, mein Kopf ist Matsche für heute :-)
Ganz dolle danke und einen entspannten Abend wünsche ich dir!!

22.01.2017, 20:10

Clearly_wrong

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Wünsche dir auch einen schönen Sonntagabend smile

smile

23.01.2017, 09:56

Fenistil

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Einen wunderschönen guten Morgen :-)
Ich denke, ich hab's.

Zur Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |u_n'|\leq n\cdot \|u'\|_\infty \int_0^\infty |u(0)^{n-1-35}\cdot u^{35}| \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \|u'\|_\infty \end{eqnarray*}$ ist beschränkt wegen b), $\begin{eqnarray*} u(0)^{n-1-35}\to 0 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung und $\begin{eqnarray*} u\in L^{35} \end{eqnarray*}$ , also auch beschränkt.
Daher gilt $\begin{eqnarray*} \|u_n\|_{W^{1,1}}=\|u_n\|_{L^1}+\|u_n'\|_{L^1}\to 0+0=0. \end{eqnarray*}$

23.01.2017, 10:04

Clearly_wrong

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Naja, da steht schon noch ein Faktor $\begin{align*} n \end{align*}$ . Der stört zwar nicht besonders, sollte aber bei der Argumentation nicht vergessen werden.

23.01.2017, 10:33

Fenistil

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Ja, das habe ich mir auch gedacht. Der steht ja auch bei der b) schon davor. Man müsste also quasi begründen, warum $\begin{eqnarray*} \|u'\| \end{eqnarray*}$ "schneller" gegen 0 geht als n nach Unendlich.
Hast du da spontan eine Idee für ein Argument? verwirrt

verwirrt

Das muss ja aus der Voraussetzung folgen, ich weiß aber nicht, wie man das formal begründet.

23.01.2017, 10:37

Clearly_wrong

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Was weißt du über Folgen der Art $\begin{align*} nq^n \end{align*}$ , wobei 0<q<1?

23.01.2017, 12:34

Fenistil

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Muss wohl eine bekannte Nullfolge aus Analysis 1 sein... :-)

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