Differentialformen, Satz von Stokes, Zylindervolumen

19.01.2017, 19:33	Ruben43653	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialformen, Satz von Stokes, Zylindervolumen Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe bei der Bestimmung des Zylindervolumens mit dem Satz von Stokes für Differentialformen. Die Zylinderoberfläche soll folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray} Z=x^2+y^2=1, z \in [-1,1] \end{eqnarray}$ es sei außerdem die 2-Form $\begin{eqnarray} \omega= zdy \wedge dx- y dx \wedge dz \end{eqnarray}$ gegeben damit soll ich nun das Integral $\begin{eqnarray} \int_{Z} \omega \end{eqnarray}$ berechnen. Habe allerdings keine Vorstellung, wie das gehen soll und hoffe mir kann jemand dabei helfen. Vielen Dank. Meine Ideen: Der Satz von Stokes lautet $\begin{eqnarray} \int_{\delta M} \omega= \int_M d\omega \end{eqnarray}$ Für die Parametrisierung des Randes hab ich mir das hier überlegt $\begin{eqnarray} (cos(t); sin(t); 1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (cos(t); -sin(t); 1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ Im Aufgabenteil zuvor habe ich eine 1.Form bestimmt, sodass $\begin{eqnarray} \omega= d \eta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (\eta= yz dx) \end{eqnarray}$ , vielleicht baut diese Aufgabe darauf auf.
20.01.2017, 09:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F=\begin{pmatrix} yz \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wofür offenbar gilt $\begin{eqnarray} rot (\vec F)=\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ -z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ durch die Mantelfläche eines Zylinders. Der klassische Satz von Stokes besagt $\begin{eqnarray} \int \vec F\,\,d\vec x=\int rot (\vec F)\,\,d\vec A \end{eqnarray}$ . Da die Randkurve der Zylinder-Mantelfläche durch die beiden Kreise $\begin{eqnarray} \vec x=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ \pm 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi \in [0;2\pi] \end{eqnarray}$ begrenzt ist, muss man zwei Kreisintegrale berechnen, welche mit entgegengesetzter Orientierung durchlaufen werden müssen. Wir benutzen Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray} \overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi} \underbrace{\begin{pmatrix} \sin(\phi)\cdot (+1) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec F}\,\,\underbrace{\begin{pmatrix} \sin(\phi) \\ -\cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}\,\,d\phi}_{d\vec x}}^{\text{Wegintegral über "oberen" Kreis}}+\overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi} \underbrace{\begin{pmatrix} \sin(\phi)\cdot (-1) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec F}\,\,\underbrace{\begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}\,\,d\phi}_{d\vec x}}^{\text{Wegintegral über "unteren" Kreis}}=\overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{z=-1}^{+1}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ \sin(\phi) \\ -z \end{pmatrix}}_{rot(\vec F)}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}\,\,dz d\phi}_{d\vec A}}^{\text{Flächenintegral über die Mantelfläche}} \end{eqnarray}$ Wenn man in den Integranden die Skalarprodukte ausmultipliziert, vereinfacht sich dies zu $\begin{eqnarray} \overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi} \sin^2(\phi)\,\,d\phi}^{\text{Wegintegral über "oberen" Kreis}}+\overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi} \sin^2(\phi)\,\,d\phi}^{\text{Wegintegral über "unteren" Kreis}}=\overbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{z=-1}^{+1}\sin^2(\phi)\,\,dz d\phi}^{\text{Flächenintegral über die Mantelfläche}} \end{eqnarray}$ Wie man sieht, ergeben beide Seiten dieser Gleichung denselben Wert. Rechnen diesen Wert aus!
20.01.2017, 14:56	Ruben43665	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort Echos. Wie der klassische Satz von Stokes funktioniert weiß ich bereits, den darf ich hier allerdings nicht benutzen. Ich muss die Aufgabe mit dem Satz von Stokes für Differentialformen lösen und weiß nicht, wie man dabei "handwerklich" vorgeht. Willkommen im Matheboard! Du bist hier mit zwei Accounts unterwegs. Der User Ruben43653 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen
20.01.2017, 16:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht schaust du einmal hier.
21.01.2017, 13:03	Ruben436	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Link Leopold, aber leider bringt mich das auch nicht weiter. Im vorherigen Aufgabenteils musste ich das auf die im Link beschriebene Weise berechnen, also mit Hilfe des pull-backs. Jetzt ist die Aufgabe das ganze mit dem Satz von Stokes für Differentialformen zu lösen, den ich am Anfang aufgeschrieben habe.
22.01.2017, 18:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne es genau so: mit dem Zurückholen der Differentialform. $\begin{align} \int_Z \omega = \int_Z \dd \eta = \int_{\partial Z} \eta \end{align}$ Für den unteren Rand etwa hast du die Parameterdarstellung $\begin{align} \psi: \ \ x = \cos t \, , \ \ y = \sin t \, , \ \ z = -1 \ \ \text{mit} \ \ t \in I = [0,2\pi] \end{align}$ Wenn du in $\begin{align} \eta = yz ~ \dd x \end{align}$ einsetzt, bekommst du $\begin{align} \psi^{} \eta = \sin t \cdot (-1) ~ \dd \cos t = \sin t \cdot (-1) \cdot (-\sin t) ~ \dd t = \sin^2 t ~ \dd t \end{align*}$ Entsprechend für den oberen Rand, nur mit entgegengesetzter Orientierung. Dann die beiden Integrale addieren.
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