Logistisches Wachstum DGL Herleitung

19.01.2017, 20:08

Master-Math

Logistisches Wachstum DGL Herleitung

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche gerade die Differenzialgleichung für das logistische Wachstum herzuleiten. Die Differenzialgleichung lautet:
f'(x)=rf(x)(S-f(x)), wobei k=rs
Und die Funktion für das logistische Wachstum:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{1+ae^{-kx}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Diese Funktion habe ich jetzt abgeleitet zu:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{(1+ae^{-kx})^{2}}\cdot skae^{-kx} \end{eqnarray*}$
Nun weiß ich allerdings nicht, wie diese Ableitung umformen soll, damit ich auf die Differenzialgleichung komme.
Vielen Dank!

21.01.2017, 13:43

mYthos

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RE: Logistisches Wachstum DGL Herleitung

Zitat:

Original von Master-Math
...
Und die Funktion für das logistische Wachstum:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{1+ae^{-kx}} \end{eqnarray*}$

stimmt nicht ganz, sie lautet (nach dem Mathematiker Verhulst)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{1+ae^{-Skx}}; \ a>0; \ k>0 \end{eqnarray*}$

Eine genaue Herleitung, also der Ansatz und die Lösung der Differentialgleichung haben wir im Board bereits einmal durchgeführt

--> logistisches Wachstum

Die Differentialgleichung sagt aus, dass die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zu zwei Größen ist, nämlich zum momentanen Bestand f(x) und dem Sättigungsmanko S - f(x).
Somit stellt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine obere Grenze des Wachstums dar, darüber hinaus kann der Bestand nicht anwachsen.

Die Lösung dieser Differentialgleichung geschieht mittels Trennung der Variablen und ist eine logistische Wachstumsfunktion.

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist der Proportionalitätsfaktor bei $\begin{eqnarray*} f \ ' (x) = k \cdot f(x) \cdot (S - f(x)) \end{eqnarray*}$ [Bernoulli-Diffgl.]

Man kann dann auch $\begin{eqnarray*} k = \frac \lambda S \end{eqnarray*}$ setzen. Damit kommt man zu

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{1+ae^{-\lambda x}} \end{eqnarray*}$

und dies ist die von dir angeführte Funktion. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist hier dein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$
----------

Um von der Basis $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ abzukommen, wird oftmals $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} = q \end{eqnarray*}$ geschrieben, dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{S}{1+a \cdot q^x} \ \ a>0; \ 0 < q < 1 \end{eqnarray*}$

Es gibt noch andere Schreibweisen dieser Funktion, aber die wollen wir mal außen vor lassen.
Wichtig ist die Charakteristik der logistischen Wachstumsfunktion, sie ist begrenzt, hat einen Wendepunkt und ihr Änderungsverhalten ist davor ansteigend (progressiv) und danach abfallend (degressiv).

mY+

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