Gleichungssystem 2 Gleichungen 4 Unbekannte

20.01.2017, 08:34

Xx_Gauß_xX

Gleichungssystem 2 Gleichungen 4 Unbekannte

Meine Frage:
Ich hab das Gleichungssystem:
1) 2a+2b=c*d
2) 2c+2d=a*b
a, b, c und d müssen natürlich sein.
Wie kann ich sowaß lösen, damit ich alle Lösungen bekomme? Kann ich alle möglichen Lösungen mit einem Muster beschreiben?

Meine Ideen:
Man kann einmal a mit b, c mit d und umgekehrt vertauschen. Außerdem kann man a und b mit c und d vertauschen. Folgende Lösungen konnte ich per Computer ermitteln: 1. 1;34;7;10 2.1;38;13;6 3. 1;54;22;5
4. 2;13;3;10 5. 4;4;4;4 6. 4;6;2;10 7. 3;6;3;6

20.01.2017, 16:44

Steffen Bühler

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RE: Gleichungssystem 2 Gleichungen 4 Unbekannte
Die restlichen Lösungen sind mit brute force schnell gefunden. Es fällt auf, dass keine der Zahlen offensichtlich größer als 54 werden kann. Es bliebe also noch der Beweis, warum dies so ist.

Ein Ansatz:

$\begin{align*} 2(a+b)=cd \to c= \frac {2(a+b)}d \end{align*}$

$\begin{align*} 2(c+d)=ab \to 2\left( \frac {2(a+b)}d+d \right)=ab \to d = \frac14 ab \pm \frac14 \sqrt {a^2b^2-32a-32b} \end{align*}$

Nun kann man dieses d(a,b) genauer anschauen. Reelle (und damit natürliche) Lösungen gibt erst ab einer bestimmten Größe von a und b, weil sonst der Radikand negativ ist.

Ich nehme hier mal den Minuszweig und zeichne d(a,b) für a=1(rot),a=2(grün);a=3(blau):

Entscheidend ist nun ja, dass für d natürliche Zahlen herauskommen. Dies ist aber eben recht selten der Fall! Bei a=1 läuft die rote Kurve z.B. nur durch 7, 6 und 5, in die 4 konvergiert sie erst im Unendlichen. Die grüne Kurve für a=2 erreicht nur noch die 4 und die 3. Hier ist das b aber schon recht klein.

Der interessanteste Wert ist somit a=1 und d=5, denn da ist b am größten. Es lässt sich in der Tat zu b=54 bestimmen.

Ob das nun ein Beweis ist, den die Algebraiker und Zahlentheoretiker akzeptieren, bleibt allerdings dahingestellt. Spaß hat er jedenfalls gemacht.

Viele Grüße
Steffen

25.01.2017, 14:36

Xx_Gauß_xX

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RE: Gleichungssystem 2 Gleichungen 4 Unbekannte
Vielen Dank smile

25.01.2017, 16:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ob das nun ein Beweis ist, den die Algebraiker und Zahlentheoretiker akzeptieren, bleibt allerdings dahingestellt.

Ohne rechentechnische Hilfe würde man noch etwas mehr Zeit in die Analyse der Terme verwenden:

So muss z.B. $\begin{align*} a^2b^2-32(a+b) \end{align*}$ ja ein vollständiges Quadrat sein. Im Fall $\begin{align*} a+b>0 \end{align*}$ bedeutet das wegen $\begin{align*} a^2b^2-32(a+b) < (ab)^2 \end{align*}$ insbesondere dann auch $\begin{align*} a^2b^2-32(a+b) \leq (ab-1)^2 \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} (a-16)(b-16) \leq 256 \end{align*}$ . Das ist immer noch verdammt viel Holz zu untersuchen. Mit vorangeschalteten Betrachtungen $\begin{align*} {}^{*)} \end{align*}$ zu Geradheit/Ungeradheit von $\begin{align*} a,b \end{align*}$ kann man das dann aber sogar in den händisch zu bewältigenden Bereich überführen - es ist trotzdem noch eine Menge Arbeit. Aber das wäre die Ochsentour, durch die sich z.B. Olympioniken kämpfen müssten, denn da ist nach wie vor jegliche Rechentechnik außen vor.

Und auch mit Rechentechnik ist diese Herangehensweise brauchbar, um wasserdicht zu begründen, welche Bereiche für die Bruteforceuntersuchung ausreichend sind. Und zwar lauten die so: Für $\begin{align*} 1\leq a\leq 16 \end{align*}$ sind die zu untersuchenden $\begin{align*} b \end{align*}$ via $\begin{align*} 1\leq b \leq 16a + \frac{144}{a^2} \end{align*}$ beschränkt, für $\begin{align*} 17\leq a\leq 272 \end{align*}$ ist das hingegen $\begin{align*} 1\leq b\leq 16 + \frac{256}{a-16} \end{align*}$ .

*) Sind z.B. beide gerade, also $\begin{align*} a=2A,b=2B \end{align*}$ , dann geht es um ein vollständiges Quadrat $\begin{align*} A^2B^2 - 4(A+B) \end{align*}$ , wo mit analoger Technik wie oben dann "nur" noch $\begin{align*} (A-2)(B-2)\leq 4 \end{align*}$ zu bewältigen ist, was in überschaubar vielen Unterfällen erledigt ist.

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