Cauchy- Integralformel

20.01.2017, 11:22	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy- Integralformel Ich muss folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=r=4}^{} \! \frac{sinz}{(z-1)^2(z-3)} \, dz <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Erstmal Partialbruchzerlegung und dann die Cauchy- Integralfromel: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=r=4}^{} \! \frac{sinz}{(z-1)^2(z-3)} \, dz =-\frac{1}{4} \int_{\|z\|=r=4}^{} \frac{f(z)=(z+1)sinz}{(z-1)^2} dz + \frac{1}{4} \int_{\|z\|=r=4}^{} \frac{sinz}{z-3} dz = -\frac{i\pi}{2} f'(1) + \frac{i\pi}{2} sin 3 = \frac{i\pi}{2} (sin 3- sin 1 - 2cos1)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ich hoffe das stimmt so. Es geht mir jetzt um die Erfüllung der Voraussetzungen für die Anwendbarkeit dieser Formel: Es muss doch gelten: 1.) $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ ist holomorph auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{B_4(0)} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} 1,3 \in B_4(0) \end{eqnarray}$ Meine Frage ist, warum müssen 1,3 innere Punkte des Kreises sein mit Radius 4 um 0 und gleichzeitig dieser Kreis mit Kreislinie in C sein. Warum ist das so?
20.01.2017, 16:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung stimmt. Ansonsten kann man dich nur auf den Beweis dieser Formel verweisen. Schau, wo dort die Voraussetzungen gebraucht werden.

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