Wachstumsrate

20.01.2017, 12:54

Hinterbichler

Wachstumsrate

Hallo,
für eine Aufgabe musste ich beweisen, das $\begin{eqnarray*} log^3(n) \end{eqnarray*}$ langsamer wächst als $\begin{eqnarray*} n + log(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Nach einigen Versuchen habe ich nun aufgegeben und in der Lösung nachgesehen. Diese sagt mir aber leider auch nicht sehr viel :/ . Hier die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{log^3(n) }{n + log(\frac{1}{n})}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n) \cdot \frac{log(e)}{n} }{n - \frac{log(e)}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log(e)log^2(n) }{n - log(e)}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}6log^3(e) \cdot \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Könnte mir hier jemand weiterhelfen, welche Umformungen hier stattgefunden haben bzw welche Rechengesetze angewandt wurden? Dazu muss ich auch sagen das ich zuvor nie wirklich mit e (ich nehme an hier wurde die eulersche Zahl angewandt) zu tun hatte.

20.01.2017, 13:14

klarsoweit

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RE: Wachstumsrate

Zitat:

Original von Hinterbichler
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{log^3(n) }{n + log(\frac{1}{n})}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n) \cdot \frac{log(e)}{n} }{n - \frac{log(e)}{n}} \end{eqnarray*}$

Hier wurde log(1/n) = -log(n) und die l'Hospital-Regel angewendet. Es muß dann aber rechts $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n) \cdot \frac{log(e)}{n} }{1 - \frac{log(e)}{n}} \end{eqnarray*}$ stehen.

Zitat:

Original von Hinterbichler
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n) \cdot \frac{log(e)}{n} }{n - \frac{log(e)}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log(e)log^2(n) }{n - log(e)} \end{eqnarray*}$

Hier muß es meines Erachtens $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n) \cdot \frac{log(e)}{n} }{1 - \frac{log(e)}{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log(e)log^2(n) }{n - log(e)} \end{eqnarray*}$ heißen. (Erweiterung des Bruchs mit n.)

Zitat:

Original von Hinterbichler
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log(e)log^2(n) }{n - log(e)}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}6log^3(e) \cdot \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Hier wurde die l'Hospital-Regel zweimal angewendet:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log(e)log^2(n) }{n - log(e)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}6log^2(e) \cdot \frac{log(n)}{n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}6log^3(e) \cdot \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ smile

20.01.2017, 13:42

Hinterbichler

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Vielen dank für die Antwort smile

. Was mir leider noch nicht klar ist, ist wo $\begin{eqnarray*} -\frac{log(e)}{n} \end{eqnarray*}$ herkommt. Das müsste doch die Ableitung von $\begin{eqnarray*} -log(n) \end{eqnarray*}$ sein oder? Aber ist die Ableitung davon nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Das selbe gilt für $\begin{eqnarray*} log^3(n) \end{eqnarray*}$ . Ist hiervon nicht die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{3log^2(n)}{n} \end{eqnarray*}$ ?

20.01.2017, 13:49

klarsoweit

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Hm, ja. Was den Autor bewogen hat, dort log(e) statt der 1 zu schreiben, kann ich leider auch nicht sagen. geschockt

20.01.2017, 14:08

Hinterbichler

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Könnte ich das ganze dann auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{log^3(n) }{n + log(\frac{1}{n})}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n)}{n \cdot (1- \frac {1}{n})}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{3log^2(n)}{n -1}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{6log(n)}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{6}{n}=0 \end{eqnarray*}$

21.01.2017, 11:22

mYthos

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Ja! Sieht doch gut aus!

mY+

21.01.2017, 12:08

Hinterbichler

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Danke für die Bestätigung smile

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