Lineare Komplemente zur x-Achse in R²

20.01.2017, 15:03	-simonho-	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Komplemente zur x-Achse in R² Meine Frage: Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Sei U = $\begin{eqnarray} \left\{(x,0) \in \mathbb R^{2} : x \in \mathbb R \right\} \subset V = \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Beschreiben Sie alle Untervektorräume von V, die ein lineares Komplement zu U in V sind. Meine Ideen: Da U die x-Achse in R² darstellt müssten alle UVR von V mit der Geraden durch den Ursprung und der Steigung a dargestellt werden können. Kann ich das so aufschreiben: Sei a $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \setminus \left\{ 0\right\}. W_{a} = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^{2} : y= ax\right\} \subset V \end{eqnarray}$ Dann müsste ich noch zeigen, dass die Bedingungen für ein Komplementärraum gelten, die wären: (i) $\begin{eqnarray} U\cap W=\{0\} \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} U+W=V \end{eqnarray}$ , wobei U+V := $\begin{eqnarray} \{u+w\mid u\in U,w\in W\}. \end{eqnarray}$ Da steh ich etwas auf dem Schlauch, ich hoffe ihr könnt mir dabei behilflich sein. Danke und VG
21.01.2017, 01:20	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist ok, aber einen Unterraum übersiehst du bei deiner Parametrisierung, denn für diesen bräuchtest du unendliche Steigung. Siehst du es? Ich würde das aber anders machen, dann ist der Nachweis, dass es sich tatsächlich um alle Komplemente handelt, einfacher. Sag einfach: Jeder eindimensionale Unterraum, außer $\begin{align} U \end{align}$ selbst. Der Nachweis erledigt sich dann vollkommen mit Dimensionsargumenten. Beispiel: Sei $\begin{align} W \end{align}$ beliebig wie oben, dann ist $\begin{align} \dim(U\cap W) \leq 1 \end{align}$ . Wäre $\begin{align} \dim(U\cap V) = 1 \end{align}$ , so müsste wegen $\begin{align} U\cap W\subset U, U\cap W\subset W \end{align}$ aus der Dimensionsgleichheit bereits $\begin{align} U = U\cap W = W \end{align}$ folgen, Widerspruch. Also muss $\begin{align} \dim(U\cap W) = 0 \end{align}$ , d.h. $\begin{align} U\cap W = \{0\} \end{align}$ . Du brauchst bloß noch mit einem ähnlichen Argument zeigen, dass $\begin{align} U+W = V \end{align}$ gelten muss. Dass es keine weiteren Komplemente geben kann, ist klar, denn ein Komplement muss Dimension 1 haben.

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