Satz von Gauß anwenden (ohne Rechnung)

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20.01.2017, 17:16	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß anwenden (ohne Rechnung) Meine Frage: Hallo zusammen! Ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe (siehe Anhang), der Satz von Gauß aus unserer Vorlesung befindet sich ebenfalls im Anhang. Meine Ideen: Das es hier nicht ums rechnen geht, fällt mir diese Aufgabe etwas schwer, wenn ich jetzt einfach mal versuchen würde den Ausdruck in eine Allgemeine Form zu bringen und dann Satz von Gauß anzuwenden, dann ständ dort doch: $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! \, dS = \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! F(x_1,...,x_n) v(x_1,...,v_n) \, dS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_{ B_1 (0)}^{} \! divF(x_1,...,x_n) \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ wobei also gilt das $\begin{eqnarray} F(x_1,...,x_n) v(x_1,...,v_n) = 1 \end{eqnarray}$ Nun verstehe ich allerdings nicht wie mich das wirklich weiter bringt und wie ich damit auf das n-dimensionale Lebesgue Maß von der n-dimensionalen Einheitskugel schließen soll/kann? Zusätzlich weiß ich auch noch nichts mit dem Tipp anzufangen, das ich das Vektorfeld F geschickt wählen soll, ich muss es ja sowieso so wählen das obige Gleichung erfüllt ist, aber wie habe ich mit dann die äußere Einheitsnormale vorzustellen? Also ich weiß das diese Senkrecht auf dem Rand steht, bzw vom Rand wegzeigt, aber wie kann ich diese genau berechnen im n-dimensionalen Fall? Würde mich über jegliche Hilfe/Denkanstöße sehr freuen!
20.01.2017, 17:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Bestimmung der Einheitsnormale mach dir vielleicht mal eine Skizze für den zweidimensionalen Fall. Fällt dir etwas auf, wenn du dir den Ortsvektor eines Punktes auf der Kreislinie und die Einheitsnormale in diesem Punkt anschaust?
20.01.2017, 18:04	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste die Einheitsnormale vom Punkt x auf der Kreislinie dann nicht $\begin{eqnarray} \frac{x}{\| x \| } \end{eqnarray}$ sein, da ich für Berechnungen/Anwendungen im R^3 die Einheitsnormale immer berechnet habe durch das Kreuzprodukt der Tangentialvektoren sprich $\begin{eqnarray} n= n(x,y) = \frac{X_x \times X_y}{\| X_x \times X_y \| } \end{eqnarray}$ .
20.01.2017, 18:07	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei groß X für eine gewählte Parametriesierung steht und der Indizes klein x oder y, für die Variable in die abgeleitet wird.
20.01.2017, 18:20	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, das ist die äußere Einheitsnormale. Wir sind hier auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius 1, du kannst $\begin{eqnarray} \nu(x)=\frac{x}{\|x\|} \end{eqnarray}$ also noch etwas vereinfachen. Jetzt brauchst du ein geeignetes Vektorfeld $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F\cdot \nu=1 \end{eqnarray}$ . Zusätzlich sollte auch die Divergenz von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ möglichst einfach aussehen, damit man dann das Integral der Divergenz über $\begin{eqnarray} B_1(0) \end{eqnarray}$ bestimmen kann.
21.01.2017, 11:39	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich um eine Kugel mit Radius 1 handelt, würde ich behaupten ich kann die Einheitsnormale vereinfachen zu $\begin{eqnarray} \nu(x)=\frac{x}{\|x\|} =\frac{x}{1} = x \end{eqnarray}$ , da ich ja durch die Länge des Vektors x teile und die ja vom 0 Punkt bis zum Rand genau r also 1 ist. Nun müsste also $\begin{eqnarray} F\cdot \nu= F\cdot x = 1 \end{eqnarray}$ gelten, somit müsste F ja genau $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ sein, aber dann verstehe ich nicht wie ich jetzt noch die Möglichkeit haben soll F selbst zu wählen ?
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21.01.2017, 12:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist ein Vektor. Was stellst du dir denn unter $\begin{eqnarray} \frac 1x \end{eqnarray}$ vor? $\begin{eqnarray} F\cdot \nu \end{eqnarray}$ ist nicht das Produkt zweier reeller Zahlen, sondern das Skalarprodukt zweier Vektoren ( $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ sind Vektorfelder). Zur besseren Unterscheidung schreibt man dafür auch oft $\begin{eqnarray} \langle F, \nu\rangle \end{eqnarray}$ .
21.01.2017, 13:00	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin dabei grad ein bisschen verwirrt, ich denke grad noch an das Beispiel im 2 dimensionalen Fall, dabei überlege ich mir jetzt für den Punkt x auf dem Rand einige Beispiele, z.B. $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn sie direkt auf den Achsen liegen, aber können ja auch so aussehen $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ \sqrt{1-0.5^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.87 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder nicht? Nun könnte ich für die auf den Achsen einfache F finden wie $\begin{eqnarray} F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit wäre das Skalarprodukt nun auch wieder 1, aber das F funktioniert ja schon nicht für den letzten Vektor oben. Verstehe grad nicht wie ich das wirklich allgemein hinbekomme, und mit 1/x meinte ich, das ich ja eigentlich immer mit dem Kehrwert multipliezieren müsste um 1 zu bekommen, was aber als Vektor quatsch wäre, weil ich ja dann im Skalarprodukt im zweidimensionalen quasi 1+1=2 raushätte.
21.01.2017, 13:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben $\begin{eqnarray} \nu(x)=x=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} F=\begin{pmatrix} F_1\\ \vdots \\ F_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das Skalarprodukt also $\begin{eqnarray} \langle F(x), \nu(x)\rangle = \langle \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} F_1(x)\\ \vdots \\ F_n(x) \end{pmatrix} \rangle =F_1(x)\cdot x_1+\cdots + F_n(x)\cdot x_n\overset !=1 \end{eqnarray}$ . Denke an die Definition der Norm eines Vektors, dann hast du sicherlich eine passende Idee.
21.01.2017, 17:34	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich für F an die Norm eines Vektors denken soll, denke ich direkt an $\begin{eqnarray} F_i(x) = \frac{1}{\|x_i\| } \end{eqnarray}$ , was ja aber doch auch nicht besser ist als mein vorheriger Vorschag $\begin{eqnarray} F_i(x) = \frac{1}{x_i } \end{eqnarray}$ oder sehe ich das Falsch? Genauso würde $\begin{eqnarray} F_i(x) = \frac{1}{\|x\|} \end{eqnarray}$ auch keinen Sinn machen, da dann als Ergebnis $\begin{eqnarray} \langle F(x), \nu(x)\rangle = F_1(x)\cdot x_1+ ...... + F_n(x)\cdot x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} x_k \neq 1 \end{eqnarray}$ Ich steh da grad irgendwie echt aufm Schlauch
21.01.2017, 17:41	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte auch noch an $\begin{eqnarray} F_i(x) = \frac{1}{\|x_i\|n } \end{eqnarray}$ , damit wäre dann $\begin{eqnarray} \langle F(x), \nu(x)\rangle = F_1(x)\cdot x_1+ ...... + F_n(x)\cdot x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n } = 1 \end{eqnarray}$ was aber wiederum auch nur gilt wenn alle $\begin{eqnarray} x_i \neq 0 \end{eqnarray}$ sind...
21.01.2017, 17:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vektorfeld $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ muss zumindest auf der gesamten Einheitskugel definiert sein; mit so etwas wie $\begin{eqnarray} F_i(x)=\frac{1}{\|x_i\|} \end{eqnarray}$ hättest du da Probleme. Die Norm von $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x_1^2+\cdots+x_n^2 \end{eqnarray}$ ; auf der Oberfläche der Einheitskugel ist diese Norm 1. Etwas ausführlicher geschrieben gilt für $\begin{eqnarray} x\in \partial B_1(0) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} x_1\cdot x_1+\cdots +x_n\cdot x_n=1 \end{eqnarray}$ Du suchst jetzt ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} x\in\partial B_1(0) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} F_1(x)\cdot x_1+\cdots +F_n(x)\cdot x_n=1 \end{eqnarray}$ Spätestens jetzt sollte dir aber etwas auffallen.
21.01.2017, 18:03	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich war beim Begriff Norm so versteift auf Wurzel vom Quadrat, das ich das offensichtliche ganz übersehen habe Also ist einfach F(x) = x bzw. wegen $\begin{eqnarray} F_1(x)\cdot x_1+\cdots +F_n(x)\cdot x_n= x_1\cdot x_1+\cdots +x_n\cdot x_n=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} F_i(x)= x_i \end{eqnarray}$ . Damit wäre dann: $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! \, dS = \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! F(x_1,...,x_n) v(x_1,...,v_n) \, dS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_{ B_1 (0)}^{} \! divF(x_1,...,x_n) \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_{ B_1 (0)}^{} \! n \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =n \int_{ B_1 (0)}^{} \! 1 \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =n \lambda^n(B_1(0)) \end{eqnarray}$ bzw. laut Aufgabenstellung $\begin{eqnarray} =n \omega_n \end{eqnarray}$ stimmt dies?
21.01.2017, 18:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »

21.01.2017, 18:11	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Ausdauer !
22.01.2017, 11:53	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dazu noch zwei sehr ähnliche Aufgaben gefunden und wollte dafür nicht nochmal eine neue Frage Stellen, würde mich sehr freuen wenn du oder jemand anderes mir dazu auch noch nen Tipp geben könntet. Also in der einen Augabe soll gezeigt werden das für alle r > 0 folgende Gleichung gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n\lambda^n(B_1(0))} \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! f_r(x) \, dS = \frac{1}{n\lambda^n(B_1(0))r^{n-1}} \int_{\partial B_r (0)}^{} \! f(x) \, dS \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^n -> \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion ist und $\begin{eqnarray} f_r(x) = f(rx) \end{eqnarray}$ die durch Skalierung definierte Funktion. Dafür habe ich jetzt einfach mal die linke Seite versucht möglichst weit umzuformen, von dem was ich so kenne: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n\lambda^n(B_1(0))} \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! f_r(x) \, dS = \frac{1}{\int_{B_1 (0)}^{} \! n \, dx_1...dx_n} \int_{\partial B_1 (0)}^{} \! f_r(x) \, dS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\int_{B_1 (0)}^{} \! n \, dS} \int_{ B_1 (0)}^{} \! div(f_r(x)) \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\int_{B_1 (0)}^{} \! n \, dS} \int_{ B_1 (0)}^{} \! div(f(rx)) \, dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ Ich verstehe jetzt nur noch nicht wie bekomme ich das r aus der Divergenz raus, muss es ja irgendwie nach vorne ausm Integral ziehen können? Also Daher das die Divergenz ja die Summe der Ableitungen ist, dachte ich erst das ich irgendwie "nr" rausziehen kann, aber dafür müssten ja alle x_i aus dem Vektor x größer Null sein, was ja aber nicht sein muss, weiß da irgendwie nicht weiter. Und wie kann ich die Integrationsmenge ändern, also ich verstehe noch nicht so ganz wie ich jetzt von Radius r=1 auf den Radius r>0 allgemein kommen kann, also da muss sich doch auch was im Integral ändern um das anzupassen oder nicht?
22.01.2017, 11:56	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Bruch 1/ Integral sollten weiterhin $\begin{eqnarray} \frac{1}{\int_{B_1 (0)}^{} \! n \, dx_1...dx_n} \end{eqnarray}$ stehen anstatt dS
22.01.2017, 12:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem bei deinem Ansatz ist, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht unbedingt differenzierbar sein muss, die Divergenz von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ also gar nicht definiert ist. Deswegen kannst du den Satz von Gauß nicht anwenden. Wäre $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar, würdest du jetzt mit dem Transformationssatz weitermachen (damit kommst du dann auf das Integral über den Ball mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ). Du kannst die Aussage direkt über die Definition von Oberflächenintegralen zeigen, ebenfalls zusammen mit dem Transformationssatz.

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