sqrt(x)²=x, warum?

20.01.2017, 17:42

Robert867

sqrt(x)²=x, warum?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich verstehe eines nicht. Es geht um Integralrechnung im Bereich Volumenberechnung von Rotationskörper.

Warum hebt sich Wurzel und hoch 2 auf ?
( $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ) ² = x

Ich weiß das es sicht aufhebt, die Wurzel und hoch 2, aber wieso ich möchte es genauer Wissen.

Wäre für eure Hilfe, sehr Dankbar =)

Meine Ideen:
Ich weiß das es sicht aufhebt, die Wurzel und hoch 2, aber wieso ich möchte es genauer Wissen.

20.01.2017, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Robert867
aber wieso ich möchte es genauer Wissen.

Was kennzeichnet denn die Quadratwurzel, d.h., wie ist sie definiert bzw. welche Eigenschaften sollte sie haben?

20.01.2017, 17:56

Robert867

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Der x unter der Wurzel ist als die positive Zahl definiert?

20.01.2017, 18:02

Robert867

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Ich weiß es leider nicht unglücklich

. Möchte es aber Verstehen.

20.01.2017, 18:07

Clearly_wrong

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$\begin{align*} \sqrt{x} \end{align*}$ ist gerade definiert als diejenige positive reelle Zahl, die $\begin{align*} (\sqrt{x})^2 = x \end{align*}$ erfüllt.

Nachtrag: Für die Zukunft: Dass man eine Eigenschaft eines Objekts nicht versteht, wenn man garnicht weiß, was das Objekt überhaupt ist, ist irgendwo klar oder nicht?

20.01.2017, 18:09

HAL 9000

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Nehmen wir die erste Zeile des Wiki-Eintrages:

Zitat:

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl $\begin{align*} y \end{align*}$ ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $\begin{align*} y \end{align*}$ ist.

Genauso ist sie definiert, und das bedeutet unmittelbar $\begin{align*} (\sqrt{y})^2 = y \end{align*}$ . Da gibt's nichts zu verstehen, es ist per Definition so.

20.01.2017, 18:15

Robert867

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Ich bin nicht der hellste in Mathe, aber danke für eure Hilfe smile

21.01.2017, 14:09

mYthos

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In der Mathematik werden oft Definitionen verwendet, damit man damit (weiter)rechnen kann*.
Man trachtet bei jeder Erweiterung danach, dass die Rechengesetze weiterhin Gültigkeit haben (Permanenz der formalen Rechengesetze).

So wird etwa $\begin{eqnarray*} a^0 =1 (a > 0) \end{eqnarray*}$ , was von vornherein nicht leicht einzusehen ist.
Klar wird es erst, nachdem man das Potenzgesetz

$\begin{eqnarray*} \frac {a^r}{a^s} = a^{(r - s)} \end{eqnarray*}$

betrachtet. Es soll dann auch für $\begin{eqnarray*} r = s \end{eqnarray*}$ Gültigkeit haben.
Auch dass $\begin{eqnarray*} a^1 = a \end{eqnarray*}$ gilt, wird dann klar.

Ein anderes Beispiel ist der Logarithmus. Dieser muss definiert werden, ihn gibt's nicht von vornherein.
Dazu betrachtet man die Umkehrung der Exponentialfunktion, also wie der Exponent von deren Funktionswert abhängt.

Aus $\begin{eqnarray*} a^x = y \end{eqnarray*}$ wird definitionsgemäß dann $\begin{eqnarray*} x = ^a\log y \end{eqnarray*}$ .
Das ist etwas gänzlich Neues und zweifellos erfahrungsgemäß zunächst eine Hürde für viele Schüler.
Es werden aber dann mittels der Potenzgesetze auch die Rechenregeln und Restriktionen** für Logarithmen erarbeitet, sodass auch bei dieser Erweiterung die formalen Rechengesetze weiterhin Gültigkeit haben.

(*) Ein scherzhafter Satz sagt, "Kommt der Mathematiker nicht mehr weiter, wird einfach so definiert, damit es dann passt"

(**) Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl kann es im Reellen nicht geben, weil die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ (a > 0) nie Null oder negativ wird.

mY+

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