Mischungsrechnung (Textaufgabe) |
| 20.01.2017, 17:19 | lelexx | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mischungsrechnung (Textaufgabe) Meine Frage: Hallo, In der Schule wurde eine Aufgabe gelöst (war krank), doch ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung der Aufgabe kommt. Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet. Die Tabelle gibt den Eiweiß-,Kohlenhydrate- und Fettgehalt von drei Speisebestandteilen A,B, C an. Eiweiß: 30% 50% 20% Kohlenhydrate: 30% 30% 70% Fett: 40% 20% 10% 1. Zeigen Sie, dass man aus A,B,C keine Speise mit 47% Eiweiß, 35% Kohlenhydrate und 18% Fett zusammenstellen kann. Untersuchen Sie, ob man Speisen mit 40% Eiweiß, 40% Kohlenhydrate aus A,B,C herstellen kann. Lösung: 0,3x+0,5y+0,2z= 0,47 0,3x+0,3y+0,7z= 0,35 0,4x+0,2y+0,1z= 0,18 (Wieso haben jetzt aber die Speisebestandteilen von A alle die gleiche Variable etc. Verstehe das nicht) Da die erste Gleichung eine negative Lösung hat und das ja nicht geht, wurde bewiesen dass so eine Speise nicht zusammengestellt werden kann. 2. 0,3x+0,5y+0,2z= 0,47 0,3x+0,3y+0,7z= 0,35 x+y+z=1 Hier verstehe ich jetzt aber nicht wie man auf die dritte Gleichung kommt und generell ist mir die ganze Aufgabe bzw wie man auf die Antworten kommt ein wenig suspekt. Ich bitte um schnelle Antworten, da dies für meine Versetzung (mündliche Note) wichtig ist. Danke im Voraus! Meine Ideen: Lösung: 1. 0,3x+0,5y+0,2z= 0,47 0,3x+0,3y+0,7z= 0,35 0,4x+0,2y+0,1z= 0,18 (Wieso haben jetzt aber die Speisebestandteilen von A alle die gleiche Variable etc. Verstehe das nicht) Da die erste Gleichung eine negative Lösung hat und das ja nicht geht, wurde bewiesen dass so eine Speise nicht zusammengestellt werden kann. 2. 0,3x+0,5y+0,2z= 0,47 0,3x+0,3y+0,7z= 0,35 x+y+z=1 Hier verstehe ich jetzt aber nicht wie man auf die dritte Gleichung kommt und generell ist mir die ganze Aufgabe bzw wie man auf die Antworten kommt ein wenig suspekt. Ich bitte um schnelle Antworten, da dies für meine Versetzung (mündliche Note) wichtig ist und ich das alles echt nicht verstehe, die Lösungen habe ich nur von einer Mitschülerin abgeschrieben. Danke im Voraus! |
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| 21.01.2017, 11:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist eine Mischungsaufgabe. Hättest du auch so in den Titel schreiben können. Die Gleichungen werden über die Mengen (Massen) und den jeweiligen Bestandteilen aufgestellt. Beim Ansatz der Mischungsaufgaben gilt: Der "Wert" der (Gesamt-)Mischung (= reiner Bestandteil) ist gleich dem Wert der einzelnen Mischungsbestandteile. Den "Wert" erhält man immer durch Multiplikation Masse x Prozentsatz (es ist daher der Prozentanteil) Wenn also x kg der Mischung A 30% Eiweiß enthält, so beträgt der reine Eiweiß-Anteil 0,30*x x, y, z sind in deiner Aufgabe die Massen (Gewichte) der Speisen A, B, C. Wenn das Gewicht des Endproduktes nicht eindeutig zu bestimmen ist, kannst du es beliebig ansetzen, z. B. 1 (kg) oder 8 (kg), denn dann bleibt das Mischungsverhältnis gleich, wie wir dann sehen werden. Um die Gleichungen übersichtlicher anzusetzen, ordnen wir die Tabelle etwas um: A: x kg, E 0,3; CH 0,3; F 0,4 B: y kg, E 0,5; CH 0,3; F 0,2 C: z kg, E 0,2; CH 0,7; F 0,1 ------------------------------------------------ x+y+z ; E 0,47; CH 0,35; F 0,18 .. Fall 1 x+y+z ; E 0,4; CH 0,4; F 0,2 ....... Fall 2 ------------------------------------------------ Die Mischung hat das Gesamtgewicht (x + y + z), denn sie besteht aus x kg A, y kg B und z kg C Jetzt kannst du entlang der Spalten der Tabelle herunter rechnen: Fall 1: 0,3x + 0,5y + 0,2z = 0,47(x + y + z) .. Eiweiß 0,3x + 0,3y + 0,7z = 0,35(x + y + z) .. CH 0,4x + 0,2y + 0,1z = 0,18(x + y + z) .. Fett ------------------------------------------------------------ Rechne hier mal weiter (vorteilhaft mit 100 multiplizieren)! Dieses System ist abhängig (es gibt nur 2 Freiheitsgrade für die Variablen), es hat unendlich viele Lösungen. Wir könnten deshalb hier eine 3. Gleichung x + y + z = 1 einführen, aber damit warten wir noch! ... Du kommst nämlich bereits jetzt auf 10x + 3z = 0. Dabei sieht man, dass eine Variable negativ sein muss. Somit ist gar nicht erst weiter zu rechnen. Fall 2: 0,3x + 0,5y + 0,2z = 0,4*(x + y + z)1 .. Eiweiß 0,3x + 0,3y + 0,7z = 0,4*(x + y + z)1 .. CH 0,4x + 0,2y + 0,1z = 0,4*(x + y + z)1 .. Fett -------------------------------------------------------------- Auch dieses System ist abhängig, es enthält ebenfalls eine redundante (überzählige) Gleichung. Also benötigen wir auch hier für eine eindeutige Lösung eine 3. Gleichung: x + y + z = 1 Statt 1 könnten wir auch 8 oder etwas anderes schreiben, das Mischungsverhältnis der einzelnen Bestandteile wird dennoch gleich bleiben. Warten wir auch hier noch damit und rechnen zuerst das System weiter aus Das ist wieder dein Part ... ... Du solltest erhalten: z = 2x, y = 5x Obwohl es unendlich viele Lösungen gibt, ist doch eines allen gemeinsam: Das Mischungsverhältnis bleibt gleich. Es ist aus obigen Lösungen leicht zu ersehen: --> x : y : z = 1 : 5 : 2 Damit wäre die Aufgabe schon erledigt. Will man nun spezielle Gewichtsangaben, muss man mit einer 3. Gleichung aufwarten: x + y + z = 1 (Gewicht der Gesamtmischung) dann ist x = 1/8 kg (A), y = 5/8 kg (B) und z = 1/4 kg (C). Ebenso gut mit x + y + z = 8 dann wäre x = 1 kg (A), y = 5 kg (B) und z = 2 kg (C) mY+ |
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