Grenzwert einer Funktionenfolge

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Connor Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Funktionenfolge
Meine Frage:
Hi, leider war ich eine Woche krank und werde aus den Mitschriften nicht ganz schlau.
Wir haben gegeben: und dann eine Folge .
Nun sollen wir diese auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen.


Meine Ideen:
Erstmal weiß ich nicht ganz, wie ich die Folge auf Konvergenz überprüfen soll.
Im Skript und im Internet finde ich Methoden, dass für Summenfolgen zu überprüfen, nicht jedoch für Folgen in dieser Art.

Nun gehe ich schonmal einen Schritt weiter, und nehme mal an, dass sie konvergiert.
Meine Theorie wäre, dass sie unabhängig davon, ob das $a$ nun $a$ oder $a+1$ ist,
der Grenzwert 1 beträgt. konvergiert bei $ n \to \infty$ gegen $0$.
Dann haben wir ja noch .
Dies ist ja äquivalent zu , was bei ja auch einfach ist.

Da aber ein Intervall genannt wurde bezweifle ich, dass das stimmt :/

Ich bin für alle Anregungen dankbar!
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du vielleicht irgendeine Voraussetzung an vergessen? Ansonsten kann man garnichts aussagen, weder über Existenz noch irgendeinen Wert dieses Grenzwertes.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab ich vergessen, die Funktion ist im Punkt a differenzierbar.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, also hat insbesonder für groß genug das gleiche Vorzeichen, wie , also ist der Bruch dann positiv, man kann also den Logarithmus dieses Ausdrucks betrachten. Tu dies mal.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso genau denn '' nur'' das gleiche Vorzeichen?
Kann man nicht genauer sagen, dass die beiden dann ganz gleich sind bei
?
Und wie genau kann ich den Logarhythmus von gänzlich unbekannten Funktionen berechnen?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Für gilt und somit ja. Aber was bringt dir das in Hinsicht auf ? Du kannst nicht einfach so tun, als wäre der Exponent nicht da.

Du kannst den Logarithmus doch einfach mal darauf anwenden und mit Hilfe dessen Rechenregeln vereinfachen.
 
 
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also man kann dem Term innerhalb der Klammer umschreiben, und dann erhält man mit . Aber da wäre jetzt noch nirgends das gegebene Intervall mit einbezogen. Hat dieses keine Relevanz für den Grenzwert?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, wieso man erhalten sollte verwirrt

Das gegebene Intervall beginnt bei , um es allgemein zu halten und hat Länge , damit für alle auch noch im Intervall liegt, sonst wäre die Folge nicht wohldefiniert. Abgesehen davon hat das Intervall keine Bewandtnis.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man voraussetzt (Ich wüsste nicht wie man mit f(a) den Grenzwert bilden sollte), kann man umschreiben zu .
Bei ist der Grenzwert nach den Rechenregeln , oder sehe ich hier was falsch?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte man voraussetzen dürfen? Führe doch bitte einmal die Details vor, wie du das umschreiben würdest, ich sehe es nicht.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also unter der Voraussetzung, dass man das darf ergibt sich ja erstmal
.
Nun teile man den Bruch einfach in beide Teile auf, woraus sich
ergibt (Also einfach a/a = 1 und 1/n/a = 1/an)
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, du hast nicht nur , sondern auch für alle gesetzt. Das geht natürlich nicht, aber wenn es richtig wäre, stimmte die Umformung und das Ergebnis.

Wie weit bist du bei der Umformung mit dem Logarithmus gekommen?
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt weiß ich nicht ganz wie du das meinst :/
Wenn man nimmt, kann man das zu
umformen.
Aber ich weiß jetzt nicht genau, wie ich den Logarithmus dann auf die Funktionen anwenden kann.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist perfekt, wie du es bisher gemacht hast, da ist nichts weiter auszuwerten.

Das kann man umschreiben in . Wenn du jetzt definierst, steht dort , kommt dir das bekannt vor?
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt nein verwirrt
Kannst du mir vielleicht ein Stichwort geben, dann melde ich mich nachdem ich mich erkundigt habe.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Das Stichwort ist Ableitung Augenzwinkern Wenn man setzt, steht dort und aus wird, .
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Umschreibung ist voll verständlich, aber warum sollte der Term jetzt abgeleitet werden, und nach was? Egal nach welcher unbekannten man jetzt ableiten würde, es würde mindestens ein Stück rausfallen.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst den Term nicht ableiten, sondern diesen Term als Ableitung gemäß Definition von was anderem erkennen.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Form ähnelt der des Mittelwertsatzes, falls du das meinst, aber das würde doch nur bei und nicht bei der Fall sein oder nicht?
Dieser bezieht sich ja auf das gegebene Intervall
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist die Ableitung einer Funktion definiert, schlag das mal nach.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition ist die Ableitung die Steigung einer Tangente, die man am Funktionsgraphen anlegt.
Das heißt wir haben bei deiner Form die jeweilige Steigung der Funktion, aber die ist doch nicht gesucht? Ich habe mir gerade den Mittelwertssatz nochmal genauer angeguckt,
aus diesem kann man folgern, dass .
Könnte man diesen theoretisch "einfach" einsetzen und dann denn neuen Grenzwert für
bestimmen?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann doch nicht wirklich eure Definition sein, die ist kein bisschen rigoros. Woher weiß ich denn, welche Steigung die Tangente hat? Durch Anhalten eines Lineals und dann wird über den Daumen geschätzt, was herauskommt? Ich kann kaum glauben, dass ihr keine ordentliche Definition hattet, um ehrlich zu sein, damit wird es nicht gehen.

Hast du wirklich eure Definition nachgeschlagen oder hast du dir die gerade ausgedacht oder aus der Schule erinnert? Was das für einen Sinn hat, siehst du erst, wenn du die richtige Definition hast, siehe zum Beispiel hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzi...it#Definitionen
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, im Skript ist die Ableitung einer Funktion so definiert, wie du es unten meintest.
Und da der Grenzwert der Ableitung gleich dem Grenzwert der normalen Funktion ist, müssen wir hier jetzt h gegen 0 laufen lassen und so den Grenzwert bestimmen.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was du mit dem zweiten Satz meinst. Was ist hier "die normale Funktion"? Was ist der Grenzwert der Ableitung? Wir haben hier keinen Grenzwert von Ableitungen, wir haben nur eine Ableitung.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Aber in der Ableitung ist doch ein Limes enthalten verwirrt
Mit "normale" Funktion meine ich die Stammfunktion der Ableitung.
Nach irgendeinem Satz den wir mal hatten, müsste der Grenzwert der selbe sein.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal bitte klar ausdrücken:

Welchen Wert hat nach Definition der Ableitung?

Edit: Mir reichts für heute, denk nochmal ein bisschen über die Aufgabe nach, ich denke das tut dir auch ganz gut.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Im Skript steht da kein genauer Term oder so.
Da steht
Ok, erstmal danke sehr smile
Ich schlaf dann nochmal drüber
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das reicht doch vollkommen! Da kommt also heraus. Diesen Wert kannst du jetzt allerdings auch anders berechnen, mit Hilfe der Kettenregel, denn es war ja .
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab jetzt mal mit den nachfolgenden Sätzen im Skript weiter gerechnet,
und komme auf das Ergebnis, dass der Grenzwert gleich



sein müsste.
Dafür stellte ich die Bedingung auf, dass nach dem ersten Mittelwertsatz

gilt.

Stimmt das soweit?
Und falls ja, wie bestimmt man dann den genauen Wert des Terms?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Was soll das denn bedeuten? Der Mittelwertsatz ist jedenfalls nicht anwendbar, weil Differenzierbarkeit nur in vorausgesetzt wurde, nicht auf einem ganzen Intervall, insbesondere ist der Wert undefiniert, wenn nicht gerade für alle gelten soll.

Wie es richtig weitergeht, habe ich weiter oben schon ausgeführt.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

kann man, nach der obigen Definition von ,
umschreiben zu

.

Nun wäre .

Allerdings weiß ich nicht genau wie ich das weiter ausrechnen soll.


Nach müsste man den Exponenten ja eigentlich dann umschreiben können zu

oder nicht?

Wäre das dann schon der Grenzwert?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Begründung musst du noch erwähnen, dass die Exponentialfunktion stetig ist. Nur deswegen, kannst du den Limes in das Argument hineinziehen. Das Ergebnis
ist richtig, lässt sich aber mit Hilfe der Kettenregel noch vereinfachen.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde gerade im Skript nur Vereinfachungen mit Funktionen.
Wenn man die 1:1 übernehmen könnte, könnte man dies vereinfachen zu
, das wäre aber nicht wirklich einfacher.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist einfacher, weil . Wir erhalten also .
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ah nice, und das wäre dann das endgültige Ergebnis?

Vielen Dank für deinen ganzen Aufwand mir zu helfen,
das weiß ich echt zu schätzen smile
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist das Ergebnis. Gern geschehen.
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