VR A isomorph zu VR B

21.01.2017, 03:18

Schokominza

VR A isomorph zu VR B

Hallo!

Ich soll entscheiden, ob der Vektorraum $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ isomorph zum Vektorraum $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt habe ich per Google gefunden: "Gibt es einen Isomorphismus f : V $\begin{eqnarray*} \longrightarrow \end{eqnarray*}$ W, so nennt man die Vektorräume V und W isomorph."

Heißt das, ich muss nur ein einziges Beispiel für eine lineare Abbildung von V nach W angegeben, die einen Isomorphismus darstellt? (obwohl die Abbildung im Allgemeinen kein Isomorphismus ist)

Danke!!!

21.01.2017, 09:30

Helferlein

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Nur angeben reicht nicht. Du solltest schon noch beweisen, dasd die angegebene Abbildung auch wirklich einen Isomorphismus darstellt.

21.01.2017, 22:21

Schokominza

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Behauptung: Sei K ein Körper, dann ist $\begin{eqnarray*} K^{m \times n} \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^{n \times m} \end{eqnarray*}$ .

Zunächst einmal weiss ich nicht, ob die Behauptung für alle Körper gelten muss. Ich habe mal $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ angenommen.

Dann ist die Behauptung richtig. Denn es existiert eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T: K^{2 \times 2} \longrightarrow K^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a-c & b-d \\ a+c & b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

Meine Begründung:
Die Abbildung ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} Tv = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-c & b-d \\ a+c & b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Ist klar, da nur die Nullmatrix auf die Nullmatrix abbildet.
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist surjektiv. Ist auch klar, da die Darstellungsmatrix invertierbar ist und es gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a-c & b-d \\ a+c & b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Geht das so? unglücklich

Danke schonmal Augenzwinkern

21.01.2017, 22:24

Schokominza

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Zitat:

Original von Schokominza
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist surjektiv. Ist auch klar, da die Darstellungsmatrix invertierbar ist und es gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a-c & b-d \\ a+c & b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sorry, es sollte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a-c & b-d \\ a+c & b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen. Tanzen

22.01.2017, 01:24

Helferlein

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Nicht wirklich unglücklich

Du sollst die Aussage nicht für ein bestimmtes Paar (n,m), sondern für alle denkbaren Paare (n,m) und alle Körper K zeigen. Was Du da gemacht hast ist nichts anderes als einen Isomorphismus von $\begin{align*} K^{2x2} \end{align*}$ auf sich selbst anzugeben und das noch dazu in einer viel zu komplizierten Art und Weise. Die identische Abbildung reicht aus, um zu zeigen, dass jeder Vektorraum zu sich selbst isomorph ist. Das ist aber keine Überraschung, wenn man sich einmal überlegt, wozu Isomorphismen eigentlich gut sind.

Du benötigst eine Abbildung, die jeder nxm-Matrix eine mxn-Matrix zuordnet und zwar in bijektiver Weise.

22.01.2017, 01:33

Schokominza

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Danke Helferlein Augenzwinkern

Also reicht es, wenn ich $\begin{eqnarray*} T: A \mapsto A^T \end{eqnarray*}$ als lineare Abbildung angebe und zeige dass es ein Isomorphismus ist?