Induktionsschritt, Umformung (Beweis der Leibnizregel)

21.01.2017, 12:30	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsschritt, Umformung (Beweis der Leibnizregel) Hi, meine Aufgabe ist es, für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ die Leibnizregel für Ableitungen von Produkten zu zeigen, d.h. für glatte Funktionen $\begin{eqnarray} f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (fg)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \end{eqnarray}$ . Ich möchte dies mittels vollständiger Induktion (und der Produktregel für erste Ableitungen) zeigen, insbesondere stehe ich im Induktionsschritt vor der Umformung: $\begin{eqnarray} (fg)^{(n+1)} \overset{\text{(I.V.)}}{=} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[ f^{(k+1)}g^{(n-k)} + f^{(k)}g^{(n+1-k)} \right] \overset{!}{=} \sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)} \end{eqnarray}$ . Nach einigen gescheiterten Anläufen, möchte ich nun euch darum bitten, mir für die Umformung Hinweise zu geben. (Die zu zeigende Gleichheit habe ich mit $\begin{eqnarray} ! \end{eqnarray}$ markiert.) Danke im Voraus! LG
21.01.2017, 12:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Für $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} \end{eqnarray}$ .
21.01.2017, 13:13	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial, Danke! Ein bisschen mit dem Summenindex spielen hat mir dank deinem Tipp das gewünschte Ergebnis geliefert!

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