Ganzzahliges lineares Optimierungsproblem

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21.01.2017, 13:02	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzzahliges lineares Optimierungsproblem Hallo Leute, ich brauche noch einmal Hilfe zu der Aufgabe Meine Ideen bis jetzt: Ich habe 2 binäre Variablen eingeführt $\begin{eqnarray} x_{itf} \end{eqnarray}$ , weche angibt, ob Arbeiter i an Tag t und in der Frühschicht arbeitet und $\begin{eqnarray} x_{its} \end{eqnarray}$ , welche angibt, ob Arbeiter i an Tag t und in der Spätschicht arbeitet. Dann habe ich mich an folgenden Bedingungen versucht: $\begin{eqnarray} x_{itf} + x_{its} \le 1 \forall i,t,f,s \end{eqnarray}$ , welche angibt dass eine Person an einem Tag nicht in beiden Schichten arbeiten darf $\begin{eqnarray} x_{its} + x_{i(t+1)f} \le 1 \forall i,t,f,s \end{eqnarray}$ , welche angibt, dass eine Person nicht nach einer Spätschicht am nächsten Tag in der Frühschicht arbeitet. Ist das schonmal so O.K? Ich weiß noch nicht so richtig, wie ich das mit der Teilmenge da rein bringen soll. Danke schonmal für die Hilfe
21.01.2017, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Entsprechen diese Planungsvorgaben vollumfänglich den gesetzlichen Regelungen zur Arbeitszeit in Deutschland (Arbeitszeitgesetz, ArbZG)? Anderenfalls ist die Mitwirkung an der Erstellung eines solchen LP-Modells grundsätzlich strafbar und daher abzulehnen. Das Ziel dieser Planung, möglichst wenig Arbeiter zu beschäftigen, lehne ich ab, weil es meiner Vorstellung von sozialer Gerechtigkeit widerspricht. Ich schlage daher vor, in diesem Unternehmen nicht als Mathematiker zu arbeiten. Als interessantes Denkspiel lasse ich die Aufgabe gelten, weil solche Teilmengenprobleme grundsätzlich möglich sind. Deine Indices müssen nicht über $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ quantifiziert werden, denn davon gibt es jeweils nur ein Exemplar. Daher halte ich für sinnvoll, die Variablen $\begin{eqnarray} f_{it},s_{it} \end{eqnarray}$ zu nennen. $\begin{eqnarray} A_t\subseteq N \end{eqnarray}$ lässt sich dadurch formulieren, dass man die Komplementmenge auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ setzt: $\begin{eqnarray} f_{it}+s_{it}=0 \; \forall t \; \forall i\in N\backslash A_t \end{eqnarray}$ In deiner 2. Bedingung kann $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nicht bis $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ laufen, weil es keine Frühschicht am Tag $\begin{eqnarray} T+1 \end{eqnarray}$ gibt.
22.01.2017, 11:21	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
ist ja nur eine Übungsaufgabe Stimmt also ich habe jetzt folgende binäre Variablen eingeführt: $\begin{eqnarray} f_{it} \end{eqnarray}$ gibt an ob Arbeiter i an Tag t in Frühschicht arbeitet $\begin{eqnarray} s_{it} \end{eqnarray}$ gibt an ob Arbeiter i an Tag t in Spätschicht arbeitet Dann habe ich noch eine Konstante definiert $\begin{eqnarray} n_{t} = \|A_{t}\| \end{eqnarray}$ welche die Anzahl der Elemente in der Menge $\begin{eqnarray} A_{t} \end{eqnarray}$ angibt. und folgende Bedingungen: $\begin{eqnarray} f_{it}+s_{it} \le 1 \; \forall i \in A_{t}, \; \forall t \in {1...T} \end{eqnarray}$ : jede Person höchstens eine Schicht pro Tag $\begin{eqnarray} f_{it} + s_{it} = 0 \; \forall i \in N \backslash A_t \end{eqnarray}$ : alle Personen die nicht verfügbar sind arbeiten auch nicht $\begin{eqnarray} s_{it}+f_{i(t+1)} \le 1 \; \forall i \in A_t, \; \forall t \in {1,...,T-1} \end{eqnarray}$ : Es darf keiner in der Spätschicht arbeiten und am nächsten Tag in der Frühschicht $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n_t} f_{it} = b_{t}^{f} \; \forall t \end{eqnarray}$ : genügend Arbeiter in Frühschicht $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n_t} s_{it} = b_{t}^{s} \; \forall t \end{eqnarray}$ : genügend Arbeiter in Spätschicht $\begin{eqnarray} \sum_{t=1}^{T} (l_t^f f_{it}) + (l_t^s * s_{it}) \le H_i \; \forall i \in N \end{eqnarray*}$ : Höchststundenzahl pro Arbeiter muss eingehalten werden Ist das so in Ordnung mit den Nebenbedingungen?
22.01.2017, 11:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 2. Bedingung für alle t. $\begin{eqnarray} n_t \end{eqnarray}$ musst Du weglassen, das mit den Summen funktioniert so nicht (überlege, warum nicht). Und Du solltest dich an den Aufgabentext halten, in dem ein Mindestbedarf angegeben ist und nicht die Anzahl der Arbeiter festgesetzt wird.
22.01.2017, 12:04	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh okay. Das muss natürlich dann $\begin{eqnarray} \ge \end{eqnarray}$ anstatt $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ . Mhh kann mir glaube ich schon denken wieso nicht. Weil $\begin{eqnarray} n_t \end{eqnarray}$ nur die Anzahl der Elemente angibt und jeder Arbeiter eine Nummer hat. Das heißt wenn beispielsweise die Menge $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ 7 Elemente hat würde man nur über die Arbeiter $\begin{eqnarray} 1-7 \end{eqnarray}$ iterieren. Aber in der Menge kann natürlich auch der Arbeiter mit der Nummer $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ sein. Könnte man dann nicht die Variable folgendermaßen definieren: $\begin{eqnarray} n = \|N\| \end{eqnarray}$ , um über alle Arbeiter zu iterieren?
22.01.2017, 12:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist besser jetzt fehlt nur noch die Zielfunktion
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22.01.2017, 14:21	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} min \sum_{t=1}^{T} \sum_{i=1}^n f_{it}+s_{it} \end{eqnarray}$ ?
22.01.2017, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ohne Fragezeichen, ja
22.01.2017, 18:26	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankee

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