Grenzwert berechnen

21.01.2017, 13:13

Manuel7237

Grenzwert berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1-e^{-x})^{cot\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

Kann mir jmd eine Starthilfe geben, um den Grenzwert zu berechnen? Ich komme einfach nicht auf den Trick

21.01.2017, 13:32

HAL 9000

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Berechne zunächst den Grenzwert des Logarithmus deines Terms:

$\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \cot\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \ln\left(1-e^{-x}\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{\displaystyle\ln\left(1-e^{-x}\right)}{\displaystyle\tan\left(\frac{1}{x}\right)} \end{align*}$ ,

hier kann es z.B. mit L'Hospital weitergehen.

21.01.2017, 13:42

Manuel7237

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Das wärre doch dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{e^{x} -1} }{-\frac{1}{x^2 cos^2(x)} } \end{eqnarray*}$
Mit limes wäre es doch dann 0?
und dann insgesamt e^0 = 1?? So dann?

21.01.2017, 13:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manuel7237
Mit limes wäre es doch dann 0?
und dann insgesamt e^0 = 1?? So dann?

Ging jetzt etwas fix - insbesondere die erste Zeile - ist aber richtig. Wenn du das also richtig begründen kannst, bist du damit fertig. Freude

21.01.2017, 13:50

Manuel7237

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Dankeschön HAL9000 Freude

Noch eine Frage : DAs man erst ln anwendet und dann wieder e^() und den berechneten Grenzwert einsetzt, liegt doch an der Stetigkeit der e- Funktion

23.01.2017, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Manuel7237
Noch eine Frage : DAs man erst ln anwendet und dann wieder e^() und den berechneten Grenzwert einsetzt, liegt doch an der Stetigkeit der e- Funktion

Ja, das ist korrekt. smile

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