Gaußsche Asymptotik von Potenzen nahe Extremstellen

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zinR Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Asymptotik von Potenzen nahe Extremstellen
Hi nochmal,

Ich habe gezeigt, dass für eine dreimal stetig differenzierbare Funktion mit gilt:

für .

Jetzt möchte ich daraus für alle folgern:

.

Ich habe leider wenig Ahnung wie ich das anstellen soll, vor allem im Umgang mit dem Grenzwert und den Voraussetzungen, die ich eigentlich brauche.

Ich würde mich über Tipps zur Herangehensweise freuen,
Danke im Voraus.

LG
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Dann gilt also .

Nun gilt . Kommst du damit weiter?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile ist sehr gut, aber die erste kann ich leider noch nicht ganz nachvollziehen.

Woher erhalten wir ?
Wäre nicht nützlicher? Edit: Ich schätze, dass Du das gemeint hast?

Mir fällt zusätzlich gerade erst jetzt auf, dass die beiden Teilaufgaben von der selben Funktion sprechen - und das, obwohl ich sogar meine Frage so formuliert hatte. Das hebt natürlich nochmal einiges an Verwirrung auf. Hammer
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn deiner Meinung nach, dass für ?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das passt dann schon. Aber genügt nicht um die Aussage zu zeigen?
Edit: Schwachsinn, sorry. Sonst klappt die Umformung ja gar nicht.
Nochmal Edit: Nein, moment. Die Umformung ist allein wegen der Definition von legitim, ist ja äquivalent zur Definition, oder?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung klappt dann schon noch, allerdings wirst du dann nicht zeigen können, dass der Fehlerterm, gegen konvergiert. Hast du es denn mit dem Hinweis geschafft, zu zeigen?
 
 
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte das hätte ich, jetzt hast Du mich aber verunsichert. Ich substituiere , dann:



Mache ich hier einen Fehler?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Geht dann auch folgendes? Betrachte . Setze . Dann
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aber sind das nicht verschiedene Dinge?

Betrachte , dann .

Edit: Ich habe das eigentlich nur zur Übersichtlichkeit hingeschrieben. Ich könnte das doch auch weglassen, und wegen der strengen Monotonie der Wurzelfunktion würde die Aussage folgen. Nein?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, und wohin ist dann der Faktor in deiner obigen Rechnung hin verschwunden? Ganz generell kannst du nicht einfach Variablen umbenennen und dann so tun, als würden sie beim Grenzübergang einfach stehen bleiben. hängt bei dir von ab, das kann nach einem Grenzübergang überhaupt nicht mehr in dem Ausdruck auftauchen.

Ich sehe wirklich nicht, wo da der Unterschied sein soll. Du weißt , wieso muss dann auch , das hat doch überhaupt keine Rechtfertigung und ist genauso sinnvoll, wie zu sagen, dass , weil .
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hast du natürlich recht. Ich habe die Klammern strikt missachtet.

Nochmal edit: Würde man das ausbessern, dann stünde dort: und dann geht das ganze natürlich nur noch so, wie Du es gesagt hast.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich bereits sagte, gewöhn dir das mit dem Variablen umbenennen und partiell Grenzwerte bilden am besten ganz schnell wieder ab, es gibt dafür keine Rechtfertigung. Durch sowas kommen dann gerne so Glanzleistungen wie zu stande, denn wenn man setzt, hat man ja
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Guter Tipp, Danke. Wobei man an dieser Stelle doch anmerken muss, dass immer noch richtig ist. (Ändert natürlich nichts daran, wie peinlich es ist, dass ich nicht ausmultiplizieren kann.)

Gibt es eine andere Möglichkeit, schön aufzuschreiben, wie die Überlegung in die Rechnung einfließt?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kann einfach schreiben, dass und der zweite Faktor konvergiert gegen , also auch das Produkt.
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