Limes Superior einer Folge

21.01.2017, 14:55	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes Superior einer Folge Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu der Folge: $\begin{eqnarray} a_{n} = (1+(-1)^{n})\cdot (1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ Zu berechnen sind die ersten 6 Folgenterme und min, max, sup, inf, limsup und liminf. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} a_{1} = 0, a_{2} = 3, a_{3} = 0, a_{4} = \frac{5}{2}, a_{5} = 0, a_{6} = \frac{7}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} min(a_{n}) = inf(a_{n}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} max(a_{n}) = sup(a_{n}) = 3 \end{eqnarray}$ Für die Untersuchung nach lim inf habe ich jetzt die Teilfolge $\begin{eqnarray} a_{2n} = 0,0,0,0,0... \end{eqnarray}$ entdeckt, also $\begin{eqnarray} lim inf(a_{n}) = 0 \end{eqnarray}$ . Für die Untersuchung nach lim sup habe ich betrachtet: $\begin{eqnarray} (1+(-1)^{n}) \end{eqnarray}$ : Dieser Term nimmt für gerade n den Wert 2 an und für ungerade n den Wert 0. $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ : Dieser Term konvergiert für steigende n gegen 1. Dann müsste die beiden Häufungspunkte doch 0 (lim inf) und 2 (2 * 1) sein. Also $\begin{eqnarray} lim sup(a_{n}) = 2 \end{eqnarray}$ . Jetzt steht in der Lösung aber $\begin{eqnarray} lim sup(a_{n}) = 1 \end{eqnarray}$ . Kann mir Jemand sagen, wieso das so ist? Vielen Dank schonmal!
21.01.2017, 16:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist richtig, der limsup ist 2. Die "offizielle" Antwort 1 ist damit falsch, zumindest falls es wirklich um $\begin{align} a_n = \left(1+(-1)^{n}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right) \end{align}$ geht.
21.01.2017, 16:53	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank!

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