Folgerungen aus Differenzierbarkeit

21.01.2017, 16:30	Störtebeker	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgerungen aus Differenzierbarkeit Meine Frage: Hi, wir haben gegeben, dass $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein offenes Intervall ist mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Nun betrachtet man mit $\begin{eqnarray} f: A \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Funktionen: $\begin{eqnarray} . f_{1} : A_{1} = \{ x \in A : x \leq a \} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{1}(x) := f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} . f_{2} : A_{2} = \{ x \in A : x \geq a \} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{2}(x) := f(x) \end{eqnarray}$ . Jetzt bezeichnet man noch $\begin{eqnarray} . f'(a-) := f'_{1}(a) \end{eqnarray}$ als linksseitige und $\begin{eqnarray} . f'(a+) := f'_{2}(a) \end{eqnarray}$ als rechtsseitige Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Nun soll man zeigen, dass wen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} f'(a) = f'(a-) = f'(a+) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Ich wüsste hier mathematisch nicht ganz wie ich das zeigen soll. Aus den Definitionen von $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{2} \end{eqnarray}$ geht ja schon hervor, dass sie im Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gleich sind. Folgt daraus nicht automatisch, dass deren Ableitung an diesem Punkt auch identisch ist? Wenn nicht, mit welchem Satz sollte ich dies beweisen könnten?

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