Basiswechsel mit einer linearen Abbildung

21.01.2017, 17:31

dubbox

Basiswechsel mit einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Hallo, ich habe das mit dem Basiswechsel noch nicht ganz durchblickt. Deswegen hier die Aufgabe und meine Ansätzte.

Wir betrachten die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorräume $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2}, \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ und in diesen die Basen
$\begin{eqnarray*} B=\langle\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C=\langle\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$
und die Standardbasen
$\begin{eqnarray*} E_2=\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E_3=\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi\in L(\mathbb R^{3},\mathbb R^{2}) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \psi_{B}^{C}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} (\psi)_{E_3}^{E_2} \end{eqnarray*}$

b) Gegeben sei weiterhin ein Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} v_{E_3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bestimme $\begin{eqnarray*} (\psi(v))_B \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a)

Hier nehme ich $\begin{eqnarray*} B \cdot \psi_{B}^{C} \cdot C^{-1} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} C^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da wir ja die zu den Standardbasen transformieren ist das ja das ganz normale Inverse.

Wir rechnen $\begin{eqnarray*} B \cdot \psi_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} B \cdot \psi_{B}^{C} \cdot C^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das müsste doch jetzt mein $\begin{eqnarray*} (\psi)_{E_3}^{E_2} \end{eqnarray*}$ sein wenn ich das ganze richtig verstanden habe.

b)
Hier bin ich mir nicht wirklich sicher wie ich das konkret löse, meine Theorie

Wir müssen den Vektor $\begin{eqnarray*} v_{E_3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ umwandeln in $\begin{eqnarray*} v_{C} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \psi_{B}^{C}(v_{C}) \end{eqnarray*}$ errechnen. Hier zeigt sich aber dann, dass ich das ganze noch nicht so verstanden habe.

Ist es richtig wenn ich wie folgt herangehe, ich suche den Vektor $\begin{eqnarray*} v_{C}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so dass gilt $\begin{eqnarray*} v_{E_3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = v_{C} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann hätte ich doch $\begin{eqnarray*} v_{E_3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ dargestellt und könnte ihn einfach mit $\begin{eqnarray*} (\psi)_{B}^{C} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

23.01.2017, 09:22

klarsoweit

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RE: Basiswechsel mit einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von dubbox
Das müsste doch jetzt mein $\begin{eqnarray*} (\psi)_{E_3}^{E_2} \end{eqnarray*}$ sein wenn ich das ganze richtig verstanden habe.

Hm, müßte die Notation nicht so aussehen: $\begin{eqnarray*} \psi_{E_2}^{E_3} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von dubbox
Ist es richtig wenn ich wie folgt herangehe, ich suche den Vektor $\begin{eqnarray*} v_{C}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so dass gilt $\begin{eqnarray*} v_{E_3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = v_{C} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, aber die Gleichung muß so aussehen:

$\begin{eqnarray*} v_{E_3} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot v_C \end{eqnarray*}$

Die Umrechnung eines Vektors aus E_3 in den Koordinatenvektor bezüglich der Basis C besorgt gerade die Matrix $\begin{eqnarray*} C^{-1} \end{eqnarray*}$ . (Aus formalen Gründen würde ich aber für die Bezeichnung der Basen B und C andere Variablen nehmen als die zugehörigen Umrechungsmatrizen.)

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