Lipschitz Stetigkeit

21.01.2017, 23:29

cmplx96

Lipschitz Stetigkeit

Hallo zusammen,

gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2}+4x-1 \end{eqnarray*}$ .
Untersucht werden soll Liptschitz-Stetigkeit auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-2;5) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|x^{2}+4x-1-(y^{2}+4y-1)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|x^{2}+4x-1-y^{2}-4y+1| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|x^{2}+4x-y^{2}-4y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |x^{2}-y^{2}|+4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ (Dreiecksungleichung)
$\begin{eqnarray*} \leq |5^{2}-5^{2}|+4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ (obere Grenze eingesetzt)
$\begin{eqnarray*} =4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-2;5) \end{eqnarray*}$ Lipschitz-Stetig mit $\begin{eqnarray*} L=4 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so in Ordnung?
Danke schonmal smile

22.01.2017, 00:12

Clearly_wrong

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Die zweite Ungleichung ist falsch. Meinst du wirklich, dass der Summand $\begin{align*} |x^2-y^2| \end{align*}$ niemals größer als $\begin{align*} 0 \end{align*}$ wird? Denn genau das drückst du mit deiner Abschätzung aus Augenzwinkern

22.01.2017, 00:34

cmplx96

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Ja, deswegen hatte ich die obere Intervallgrenze eingesetzt.
Wie kann ich den Summanden denn sonst loswerden, oder muss ich das garnicht?

22.01.2017, 00:36

Clearly_wrong

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Heißt das: Ja, du meinst, dass dieser Summand niemals größer als $\begin{align*} 0 \end{align*}$ wird? Denn kleiner als $\begin{align*} 0 \end{align*}$ wird er auch nicht, ist ja schließlich ein Betrag. Deine Behauptung wäre dann, dass der Summand gleich Null ist für beliebige $\begin{align*} x,y \end{align*}$ . Das kannst du ja mal überprüfen, indem du irgendwas anderes einsetzt.

Wer sagt denn, dass größte Werte immer an Rändern angenommen werden?

Nutze stattdessen $\begin{align*} |x^2-y^2| = |x-y|\cdot |x+y| \end{align*}$ , den zweiten Faktor kannst du jetzt abschätzen.

22.01.2017, 00:55

cmplx96

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Ja, das sollte es heißen. Mir war das nicht so klar, ich hatte mal eine ähnliche Aufgabe gesehen, das war der Term aber $\begin{eqnarray*} |x^{2}+y^{2}| \end{eqnarray*}$ .

Zurück zur Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} ...=|x^{2}-y^{2}| + 4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|x-y|\cdot |x+y| + 4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |x-y|\cdot |5+5| + 4\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 14\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

also ist f auf (-2;5) lipschitz-stetig mit L=14 ?

22.01.2017, 01:10

Clearly_wrong

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Stimmt so. Gut gemacht.

22.01.2017, 01:19

cmplx96

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Danke für die Hilfe smile

22.01.2017, 09:57

IfindU

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RE: Lipschitz Stetigkeit
Nur eine kleine Bemerkung: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so ist das optimale $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} L:= \sup_x |f'(x)| \end{eqnarray*}$ . Ist es endlich, so ist die Funktion Lipschitz-stetig, und sonst nicht.

Hier also mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + 4x - 1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x + 4 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-2,5) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (-2,5)} |f'(x)| = |f'(5)| = 14 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist jede stetig differenzierbar auf ~~beschränkten~~ kompakten Mengen Lipschitz-stetig.

22.01.2017, 10:09

10001000Nick1

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RE: Lipschitz Stetigkeit

Zitat:

Original von IfindU
Insbesondere ist jede stetig differenzierbar auf beschränkten Mengen Lipschitz-stetig.

Ich wäre eher für kompakte Mengen. Augenzwinkern

22.01.2017, 10:15

IfindU

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RE: Lipschitz Stetigkeit
Ich wollte es gerade korrigieren. Ich dachte eben an $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar, und dann eben die Einschränkung zu beschränkten Mengen.

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