f(x+y)=f(x)+f(y)+y*Wurzel(f(x))

22.01.2017, 12:46

Clearly_wrong

f(x+y)=f(x)+f(y)+y*Wurzel(f(x))

Man bestimme alle Lösungen $\begin{align*} f:\mathbb R\to\mathbb R_{\geq 0} \end{align*}$ , die der Funktionalgleichung $\begin{align*} f(x+y) = f(x)+f(y)+y\sqrt{f(x)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y\in\mathbb R \end{align*}$ genügen.

Obacht, es versteckt sich ein kleiner Haken.

22.01.2017, 13:01

HAL 9000

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Es ist nur die Nullfunktion. Aber die Begründung möchte ich so kurz nach Rätselstellung noch nicht verraten. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Obacht, es versteckt sich ein kleiner Haken.

Ach ja? Hab keinen bemerkt.

22.01.2017, 13:04

Clearly_wrong

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Naja, es gibt einen sehr beliebten Fehler, der besonders von Schülern gerne gemacht wird und einen hier zu einer nichttrivialen Lösung führen könnte. Dazu möchte ich aber auch noch nicht mehr sagen.

22.01.2017, 13:05

HAL 9000

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Für $\begin{align*} f:\mathbb R_{\geq 0}\to\mathbb R_{\geq 0} \end{align*}$ gibt es auch andere Lösungen, z.B. $\begin{align*} f(x) = \frac{x^2}{4} \end{align*}$ , vielleicht meinst du das.

23.01.2017, 22:55

HAL 9000

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Naja, das Interesse hält sich ja anscheinend doch in Grenzen, daher hier die Begründung für oben:

a) $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ eingesetzt ergibt $\begin{align*} f(x)=f(x)+f(0)+y\sqrt{f(0)} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} f(0)=-y\sqrt{f(0)} \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} y \end{align*}$ . Das ist offensichtlich nur mit $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ machbar.

b) $\begin{align*} x=t,y=-t \end{align*}$ eingesetzt ergibt $\begin{align*} f(0)=f(t)+f(-t)-t\sqrt{f(t)} \end{align*}$ , analog ergibt $\begin{align*} x=-t,y=t \end{align*}$ eingesetzt $\begin{align*} f(0)=f(-t)+f(t)+t\sqrt{f(-t)} \end{align*}$ .

Gleichsetzen beider Gleichungen liefert $\begin{align*} -t\sqrt{f(t)} = t\sqrt{f(-t)} \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} t \end{align*}$ . Für $\begin{align*} t\neq 0 \end{align*}$ dividieren wir durch $\begin{align*} t \end{align*}$ , in der entstehenden Gleichung $\begin{align*} -\sqrt{f(t)} = \sqrt{f(-t)} \end{align*}$ steht links was Nichtpositives, rechts was Nichtnegatives - das ist nur machbar, wenn da jeweils Null steht. Das bedeutet $\begin{align*} f(t)=f(-t)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t\neq 0 \end{align*}$ .

Damit ist $\begin{align*} f(t)=0 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} t \end{align*}$ bewiesen.

23.01.2017, 23:13

Clearly_wrong

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Ja, irgendwie ist es hier nicht so mit Knobelaufgaben?

Der Grund, warum ich einen kleinen Haken angesprochen hatte, ist der folgende:

Wenn man nicht von vornherein beweisen möchte, dass es nur die triviale Lösunge gibt, mag man irgendwann an die Stelle $\begin{align*} \frac{\sqrt{f(x)}}{x} = \frac{\sqrt{f(y)}}{y} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y\neq 0 \end{align*}$ gelangen, die linke Seite der Gleichung muss also konstant sein, das heißt, es gibt $\begin{align*} c\in\mathbb R \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{f(x)} = cx \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in\mathbb R \end{align*}$ , wobei man dies für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ja vorher schon gesehen hat.

Der beliebte Fehler, den ich ansprach ist, dass man meint, dies sei äquivalent zu $\begin{align*} f(x) = c^2x^2 \end{align*}$ und auch beim Überprüfen der Lösung fällt einem das nicht auf, weil ja bekanntermaßen $\begin{align*} \sqrt{y^2} = y \end{align*}$ auch für negative $\begin{align*} y \end{align*}$ gilt.

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f(x+y)=f(x)+f(y)+y*Wurzel(f(x))

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