Numerik Kleinste-Quadrate-Schätzer

22.01.2017, 13:20	Annnnnnnnnnnna	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik Kleinste-Quadrate-Schätzer Meine Frage: Hallo, habe folgende Aufgabe in der numerischen linearen Algebra zu lösen: Zeige a) durch direkte Minimierung, b) mit der Normalgleichung und c) mit QRZerlegung, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer des Parameters $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ aus den Messungen $\begin{eqnarray} \beta_j = \theta + \epsilon_j (j = 1 : m) \end{eqnarray}$ (zentrierte, unkorrelierte Störungen gleicher Varianz) der Mittelwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{m} \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Das habe ich bisher bei der a): $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j = \sum\limits_{j=1}^{m} \theta + \sum\limits_{j=1}^{m} \epsilon_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{m} \theta = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j - \sum\limits_{j=1}^{m} \epsilon_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m\cdot \theta = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j - \epsilon_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \theta = \frac{1}{m} \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j - \epsilon_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \theta = \frac{1}{m} \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_j - \epsilon_j \end{eqnarray}$ und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Kann ich hier irgendwie begründen, dass die $\begin{eqnarray} \epsilon_j \end{eqnarray}$ sich zu 0 aufsummieren? bzw. stimmt das bisher so?
25.01.2017, 13:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In a) bedeutet die "direkte Minimierung" beim MKQ-Problem, dass das Minimierungsproblem $\begin{align} f(\theta) = \sum_{j=1}^m \epsilon_j^2 = \sum_{j=1}^m (\beta_j-\theta)^2\to \min \end{align}$ gelöst wird! Die so gefundene Minimalstelle $\begin{align} \hat{\theta} \end{align}$ ist dann der MKQ-Schätzer. Scheint in deinen Überlegungen komplett zu fehlen.

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