Wie wird aus (f+g)(x) = f(x) + g(x) (bei Funktionen)?

22.01.2017, 13:20

One-Bit-Wonder

Wie wird aus (f+g)(x) = f(x) + g(x) (bei Funktionen)?

Meine Frage:
In meinem Fall müssen wir zeigen, dass eine Menge von Funktionen einen Vektorraum bilden (darum geht es mir in der Frage aber nicht direkt).

Ganz oft (z.B. bei der Assoziativität bezgl. +) muss man folgendes am Anfang machen:
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$

Man wendet x sozusagen auf die Funktionen an. Meine Fragen:
1) Warum muss man überhaupt so starten? Warum nicht direkt mit $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ ?
2) Welches Gesetz erlaubt einem das? Also das x da reinzuziehen?

Meine Ideen:
Ich glaube, ich denke da viel zu kompliziert drüber nach. Ist vermutlich ganz banal definiert bei Funktionen, oder?

Danke schon mal.

1

22.01.2017, 13:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von One-Bit-Wonder
2) Welches Gesetz erlaubt einem das? Also das x da reinzuziehen?

Das ist kein Gesetz, man definiert $\begin{align*} f+g \end{align*}$ so!

22.01.2017, 13:29

Clearly_wrong

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Eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ ist nicht das gleiche, wie $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ . Letzteres bezeichnet den Funktionswert an der Stelle $\begin{align*} x \end{align*}$ , nicht die gesamte Funktion. Also bezeichnet $\begin{align*} f(x)+g(x) \end{align*}$ auch nicht die Summe der Funktionen $\begin{align*} f,g \end{align*}$ , sondern die Summe der Funktionswerte in $\begin{align*} x \end{align*}$ , was a priori, ohne die Definition zu kennen, etwas anderes sein könnte, als der Funktionswert von $\begin{align*} f+g \end{align*}$ in $\begin{align*} x \end{align*}$ . Will man den Funktionswert der Funktion $\begin{align*} f+g \end{align*}$ in der Stelle $\begin{align*} x \end{align*}$ , so muss man eben $\begin{align*} (f+g)(x) \end{align*}$ schreiben. Nun ist es so, dass die Addition von Funktionen gerade so definiert ist, dass $\begin{align*} (f+g)(x) := f(x)+g(x) \end{align*}$ , aber um auf diesen Umstand hinzuweisen, wird vorher extra nochmal der Teil mit $\begin{align*} (f+g)(x) \end{align*}$ hingeschrieben, einfach um klar zu machen, dass es um eine Eigenschaft der Funktion $\begin{align*} f+g \end{align*}$ geht und man nicht vielleicht aus irgendeinem anderen Grund die Summe der Funktionswerte betrachtet.

22.01.2017, 13:35

One-Bit-Wonder

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Ah, okay, ich glaub jetzt habe ich's verstanden.

Danke smile

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