Grad von Körpererweiterungen und Zwischenkörpern

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Sandyy Auf diesen Beitrag antworten »
Grad von Körpererweiterungen und Zwischenkörpern
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich schaue mir für die anstehende Algebra Klausur gerade ein paar Aufgaben zur Bestimmung des grades von Körpererweiterungen und Zwischenkörper an.
Sei L Zerfällungskörper des Polynoms über und ist Galoissch.
Ich betrachte nun folgende Zwischenkörper E = und F = mit .
Nun will ich zeigen das gilt.

Meine Ideen:
Ich schaue mir dazu beide Seiten erstmal getrennt voneinander an:
Linke Seite:
Dann gilt nach Definition des Kopositum doch:

und somit:

Da ich ja quasi zum kleineren Körper F noch die Elemente und hinzufügen müsste (sorry für diese Umgangssprachliche Erklärung, aber anders verstehe ich das nicht)

Rechte Seite:
betrachte erstmal
und somit:

die letzte Gleichung weiß ich das sie aufjedenfall richtig ist, da wir dies zuvor schon gezeigt haben, also müsste wohl auf der linken Seite mein Fehler sein, aber ich finde diesen leider nicht.
Freue mich über jegliche Hilfe!
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ersetze deine "umgangssprachliche" Erklärung durch einen sauberen Beweis, dann wird die Rechnung auch richtig.
Du hast eine Erweiterung der Form K(a)/K und um deren Erweiterungsgrad zu bestimmen reicht es den Grad des Min.polynoms von über K (das ist hier sehr wichtig) zu bestimmen.
Sandyy Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich ja eigentlich, also mit K(a)|K is ja hier gemeint, also ich erweitere um das algebraische Element , wobei L ja genau ist.

Dann ist das Polynom nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel. Nach dem Lemma von Gauß ist es damit auch irreduzibel als Element von und damit gleich dem Minimalpolynom von über .
Ich verstehe jetzt nur nich ganz wie sich das Minimalpolynom ändert wenn es das Minpol von über sein soll?

Also ich habe intuitiv schon die Vermutung das sein wird, da ich schon aus vorherigen Übungen weiß das ist und ja hier das Element noch nicht in enthalten ist und zusätzlich ja schon gilt.
Liege ich damit wenigstens schonmal richtig? Gibt es nicht irgendwie die Möglichkeit darüber zu argumentieren?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann ist das Polynom

Das ist ja alles schön und gut hilft hier aber kaum weiter.
Es geht um das Min.polynom über , nicht über .
f ist hier reduzibel, weil in dem Körper bereits eine Nullstelle ist.
Und damit kann man auch weiterarbeiten um das richtige Min.polynom zu finden.


Zitat:
ja hier das Element noch nicht in enthalten ist

Doch ist es.

Zitat:
Gibt es nicht irgendwie die Möglichkeit darüber zu argumentieren?

Du könntest mit dem was du in dem Absatz ausführst zeigen dass der Grad 1 oder 2 sein muss.
Sandyy Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Variante finde ich zumindestens einfacher und dort könnte ich doch recht leicht fordern, da gilt
gilt auch nach Gradformel
mit , somit ist
und da zusätzlich gilt das:

muss auch folgendes gelten:

somit wäre doch auch die Behauptung gezeigt oder habe ich etwas vergessen?
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