Konvergenz von Reihen

22.01.2017, 16:51

cmplx96

Konvergenz von Reihen

Hallo zusammen,

fällt Jemandem ein geeignetes Kriterium zur Untersuchung von Konvergenz dieser Reihe ein?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1+n^{2}}{1+n^{3}})^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht:

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty } |\frac{(n+1)^{4}+2(n+1)^{2}+1}{(n+1)^{6}+2(n+1)^{3}+1} \cdot \frac{n^{6}+2n^{3}+1}{n^{4}+2n^{2}+1} | \end{eqnarray*}$

Es sieht nicht danach aus, als ob ich hier auf einen grünen Zweig komme.

Danke im Voraus smile

22.01.2017, 17:07

Clearly_wrong

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Bei Reihen der Form $\begin{align*} \sum_{n=n_0}^\infty R(n) \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} R \end{align*}$ eine rationale Funktion ist, wird das Wurzel- und somit auch das Quotientenkriterium niemals ein Ergebnis liefern, das braucht man garnicht erst zu versuchen.

Versuche, stattdessen eine geeignete Majorante zu finden, indem du den Zähler nach oben und den Nenner nach oben abschätzt, bis beides möglichst einfach ist.

22.01.2017, 17:36

cmplx96

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1+n^{2}}{1+n^{3}})^{2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{4}+2n^{2}+1}{n^{6}+2n^{3}+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{4}+2n^{2}+n}{n^{6}+2n^{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{3}+2n+1}{n^{5}+2n^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{3}+2n+n}{n^{5}+2n^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+3}{n^{4}+2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+3n}{n^{4}+2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n+3}{n^{3}+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n+3n}{n^{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4}{n^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4 \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow konvergent \end{eqnarray*}$
Daher ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1+n^{2}}{1+n^{3}})^{2} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Ist das so richtig abgeschätzt?
Kann man eigentlich "zuviel" abschätzen? Ich meine, dass man soviel verändert, dass sich die Eigenschaften der Reihe so stark ändern, dass man keine Aussage mehr über die ursprüngliche Reihe machen kann?

22.01.2017, 17:56

Clearly_wrong

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Ja, das ist so richtig. Das Ausmultiplizieren der Klammer wäre aber nicht unbedingt nötig gewesen. Alternativ hätte man $\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2 \leq \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n^2+n^2}{n^3}\right)^2 \end{align*}$ abschätzen können.

Zitat:

Kann man eigentlich "zuviel" abschätzen? Ich meine, dass man soviel verändert, dass sich die Eigenschaften der Reihe so stark ändern, dass man keine Aussage mehr über die ursprüngliche Reihe machen kann?

Klar, hätte man aus irgendeinem Grund $\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2\leq \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n^3}{n^3}\right)^2 \end{align*}$ abgeschätzt, so wäre die rechte Reihe nicht konvergent und man bekommt keine Aussage.

22.01.2017, 18:05

cmplx96

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Alles klar, danke für die Hilfe smile

23.01.2017, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von cmplx96
Ist das so richtig abgeschätzt?

Im Prinzip ja, aber man kann auch den Turbo einschalten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1+n^2}{1+n^3})^2 \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{n^2+n^2}{n^3})^2 = \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{2}{n})^2 = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4}{n^2} \end{eqnarray*}$ smile

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