Exponentialverteilung zeigen

22.01.2017, 19:00

Marcelo123

Exponentialverteilung zeigen

Meine Frage:
Hallo ich hätte folgende Aufgabe:

Gegeben sei die auf dem Intervall (0,1) gleichverteilte Zufallsvariable X. Zeigen Sie mit Hilfe des
Dichtetransformationssatzes, dass die Zufallsvariable Y:=?1?ln(1 ? X) exponential verteilt ist mit
Parameter ?>0

Wie wende ich den Dichtetransformationssatz an und wie zeige ich, dass eine Zufallsvariable Exponentialverteilt ist?

Meine Ideen:
Ich komme mit der Beschreibung des Dichtetransformationssatzes im Skript nicht ganz klar. Es wäre nett,wenn sie mir jemand erklären könnte.

22.01.2017, 19:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marcelo123
Zufallsvariable Y:=?1?ln(1 ? X)

Na da weiß man doch gleich Bescheid.

22.01.2017, 19:15

Primechi

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Hi, hab erst später gesehen ,dass die Umformung nicht gepasst hat und mich nun registriert. Die Formel soll lauten :
Y:= -1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *ln(1-X) mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ >0

Sorry!

22.01.2017, 21:04

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, in welcher Form ihr diesen Dichtetransformationssatz kennengelernt habt, aber er lautet ja im wesentlichen so:

Zitat:

Ist $\begin{align*} X \end{align*}$ stetig verteilt mit Dichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ , und $\begin{align*} g \end{align*}$ eine injektive Funktion mit differenzierbarer Umkehrfunktion $\begin{align*} g^{-1} \end{align*}$ , so ist auch $\begin{align*} Y=g(X) \end{align*}$ stetig verteilt mit Dichte $\begin{align*} f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right)\cdot \left| (g^{-1})'(y) \right| \end{align*}$

Also feststellen, wie hier im vorliegenden Fall $\begin{align*} g \end{align*}$ lautet, die Umkehrfunktion $\begin{align*} g^{-1} \end{align*}$ bestimmen, diese ableiten, einsetzen, fertig.

23.01.2017, 23:09

Primechi

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Also g wäre in diesem Fall Y:= -1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *ln(1-X) , da Y=g(x) ?

23.01.2017, 23:32

HAL 9000

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Nein, es ist nicht Y=g(x), sondern Y=g(X).

Die in der Stochastik gepflegte Konvention, mit Großbuchstaben Zufallsgrößen und mit Kleinbuchstaben normale (d.h. deterministische) Zahlen zu kennzeichen, hat durchaus ihren tieferen Sinn. Wenn jemand damit so lax umgeht wie du, ist das für mich ein ungutes Zeichen.

Damit ist $\begin{align*} g(x) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-x) \end{align*}$ die deterministische (!) Transformationsfunktion, um die es hier geht.

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