Radizieren der n-ten Wurzel bei einer komplexer Gleichung

23.01.2017, 10:29	Daniel_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Radizieren der n-ten Wurzel bei einer komplexer Gleichung Meine Frage: Moin, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Es soll die Lösungsmenge folgender Gleichung bestimmt werden. $\begin{eqnarray} (1+z)^5 = (1-z)^5 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Diese Aufgabe lässt sich vermutlich gut durch das Radizieren lösen nur hatte ich bisher nur solche Aufgaben wie $\begin{eqnarray} z^3 = 32(1+j)^2 \end{eqnarray}$ die sich recht leicht lösen ließen. Hier weiß ich leider nicht weiter. Die Lösung der Aufgabe lautet $\begin{eqnarray} \left\{\frac{isin(\phi)}{1+cos(\phi)}\right\| \phi = k\frac{2\pi}{5}, k = 0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$
23.01.2017, 10:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dividiere zunächst, dann steht da $\begin{align} \frac{(1+z)^5}{(1-z)^5} \stackrel{!}{=} \left( \frac{1+z}{1-z} \right)^5 = 1 \end{align}$ . 1) Mit Substitution $\begin{align} w=\frac{1+z}{1-z} \end{align}$ löst du also zunächst $\begin{align} w^5=1 \end{align}$ , das ergibt 5 komplexe Lösungen $\begin{align} w_1,\ldots,w_5 \end{align}$ . 2) Für jede einzelne dieser Lösungen führst du die Rücksubstitution aus, also $\begin{align} w_k = \frac{1+z_k}{1-z_k} \end{align}$ nach $\begin{align} z_k \end{align}$ umstellen. Die Gleichheit $\begin{align} \stackrel{!}{=} \end{align}$ beruht darauf, dass Potenzregel $\begin{align} \frac{z_1^n}{z_2^n} = \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^n \end{align}$ zumindest für ganzzahlige Exponenten $\begin{align} n \end{align}$ und alle $\begin{align} z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{0\} \end{align}$ gilt, also auch für n=5. P.S.: Ich hätte übrigens die Lösungsdarstellung $\begin{align} \left\{ i\tan\left(k\cdot \frac{\pi}{5}\right) \;\bigg\|\; k \in \{0,1,2,3,4\}\right\} \end{align}$ vorgezogen, sieht etwas "geschlossener" aus. Ist aber beides richtig.

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