Lemniskate y=max

23.01.2017, 18:31	339988	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemniskate y=max Meine Frage: Von der Gleichung (x^2+y^2) ^2-2(x^2-y^2)= 0 Soll das x,y-Wertepaar auf der Lemniskate mit dem größten y Wert bestimmt werden? Meine Ideen: Meine Idee wäre Hesse-Matrix (mit x0,y0) aufstellen und die Eigenwerte berechnen und anhand derer auf max. Min. Und Sattelpunkt prüfen. Dabei komm ich aber nur auf minima und Sattelpunkte. Entweder versteh ich die Frage nicht oder mache was grundlegend falsch. Nur was 128563 Wäre toll wenn jemand helfen kann.
24.01.2017, 02:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit anderen Worten, man soll das relative Maximum bestimmen. Die Kurve ist achsensymmetrisch und daher können wir uns auf einen Teilbereich beschränken (x > 0) Es gibt einerseits die Möglichkeit der impliziten Ableitung und diese dann Null setzen: Rechne dies einmal! Das funktioniert ganz gut und du solltest zu $\begin{eqnarray} x = \frac{\sqrt 3} 2; \ y = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ kommen. Oder die Kurve wird parametrisiert. Dabei setze $\begin{eqnarray} x = r(t) \cdot \cos t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = r(t) \cdot \sin t \end{eqnarray}$ --------------------------------------- (Polarform) Damit in die Funktionsgleichung, es kommt $\begin{eqnarray} r^4(t) - 2r^2(t) \cos 2t = 0 \end{eqnarray}$ Berechne daraus r(t) und setze dies in die obige Parameterdarstellung ein. Danach bilde die Ableitung $\begin{eqnarray} \dot y = \frac {\dd y}{\dd t} \end{eqnarray}$ und setze diese Null ( $\begin{eqnarray} \to t = \frac{\pi} 6 \end{eqnarray}$ ). Um sicher zu gehen, dass es infolge der Quadratwurzel nicht zu komplexen Werten kommt ( $\begin{eqnarray} cos(2t) \geq 0 \end{eqnarray}$ ), muss der Definitionsbereich von t auf $\begin{eqnarray} [-\frac{\pi} 2; \frac{\pi} 2] \end{eqnarray}$ eingeschränkt werden. Dadurch entsteht nur der rechte Teil der Kurve, symmetriehalber kann dieser dann an der y-Achse gespiegelt werden. http://www.matheboard.de/plotter.php?f=%...tric=parametric bzw. die Grafik hier [attach]43744[/attach] mY+
24.01.2017, 09:37	3399888888	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wenn ich die implizite Ableitung bilde bekomme ich den Term -((x^3+xf(x)^2-x)/(x^2f(x)+f(x)+f(x)^3))=0 raus. Um die Nullstellen zu bestimmen muss ich doch nur den Zähler =0 setzen, oder ? Dann komme ich aber zu keinem Ergebnis da meine Gleichung immer noch f(x) und x enthält 😕 Setze ich deinen y Wert ein komm ich auch auf deinen x Wert aber wie kommst du auf y=1/2 ? Und schonmal riesen Dank für die Mühe 😉
24.01.2017, 14:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwer zu lesen, dein Resultat, wie wär's mit dem Formeleditor? Deine Ableitung stimmt. Du musst darin f(x) durch y ersetzen, um dieses später dann zu eliminieren. Somit ist $\begin{eqnarray} y \ ' = \frac x y \cdot \frac {1 - (x^2 + y^2)}{1 + (x^2 + y^2)} \end{eqnarray}$ Jetzt ist nur der Zähler zu betrachten, ja. $\begin{eqnarray} x \neq 0; \ y \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1) \ x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray}$ Wir setzen dies in die angegebene Funktionsgleichung ein und erhalten $\begin{eqnarray} (2) \ x^2 - y^2 = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ --------------------------- Mittels Addition ist $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zu eliminieren und es folgt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , danach natürlich auch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mY+

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