Lagrange'sche Multiplikatoren-Regel |
| 24.01.2017, 14:46 | Meeen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lagrange'sche Multiplikatoren-Regel ich habe Probleme beim lösen von Extremwerte Problemen mit Nebenbedingungen nach Lagrange. Ich hoffe ihr könnt mir helfen 
f(x,y) = x² + y² Nebenbedingung: h(x,y) = xy - 9 = 0 L(x,y,z) = x² + y² + z (xy - 9) Ableitungen 1. Ordung Lx (x,y,z) = 2x + zy = 0 Ly (x,y,z) = 2y + zx = 0 Lz (x,y,z) = xy - 9 = 0 z soll mein Lambda sein. xy - 9 = 0 xy = 9 x=y=+-3 und durch einsetzen oben dann mit z (lambda) = -2 Das ist mir aber auch erst gerade beim eintippen hier klar geworden 
Aber das ist doch rumbasteln? Wie löst man denn solche nicht lineare Systeme systematisch? Aufgabe 2) f(x,y) = exp(x+y) - x² - y² Nebenbedingung : h (x,y) = 2x² + 2y² - 5x + 3y = 0 a) P0 (2,-2) überprüfen auf Regularitätsbedingung. Da hab ich erfüllt die Regularitätsbedingung da der Rang der Jakobi Matrix 2 ist und somit ungleich 0 b) Nachweisen das P0 (2,-2) ein stationärer Punkt von f(x,y) mit der Nebenbedingung h(x,y) ist. L(x,y,z) = exp(x+y) - x² - y² + z (2x² + 2y² - 5x + 3y) Ableitungen 1. Ordnung Lx (x,y,z) = exp (x+y) - 2x + 4zx - 5z = 0 Ly (x,y,z) = exp (x+y) - 2y + 4zy + 3z = 0 Lz (x,y,z) = 2x² + 2y² - 5x + 3y = 0 Und jetzt? Wieder rumbasteln? Gibt es nicht ein System, Algorithmus oder Rezept was jetzt zu tun? Hoffe ihr könnt mir zu dem Thema Tipps geben
Wollte hier noch den Links zum Arbeitsblatt posten aber das geht leider nicht. |
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| 24.01.2017, 15:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lagrange'sche Multiplikatoren-Regel
Wie kommst du auf diese Erkenntnis? Warum nicht x=9 und y=1 ?
Ein Patentrezept gibt es da nicht. (Das gibt es auch nicht im eindimensionalen Fall.) Ich würde hier die 1. Gleichung mit x und die 2. Gleichung mit y multiplizieren und dann voneinander subtrahieren. |
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| 24.01.2017, 16:06 | Meeen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x=y=+-3 denke ich in Anbetracht von 2x + zy = 0 mit z =-2 -> 2*3 + (-2)*3 = 0 und 2*(-3) + (-2)*(-3) = 0 und das ganze dann auch für 2y + zx = 0 Aber das ja eben rum basteln
durch das einsetzten kann man x = 9 y =1 ja dann ausschließen.Okay jetzt weiß ich zumindest das es da nicht eine super tolle Lösung gab die an mir vorbei gegangen ist
Das mit dem x und y reinmultiplizieren ist ein schöner Tipp, danke
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