Problem mit ungleichung

24.01.2017, 15:15	Peter78	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit ungleichung Gegeben ist: xyz=1 und x,y,z>=1/2 Begründe, dass 4/x+4/y+4/z>= 2x+2y+2z+6 ist.
24.01.2017, 15:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man eigentlich recht gut über eine Extremwertuntersuchung mit Nebenbedingung (Lagrangeansatz) bewältigen. ------------------------------- Anderer Weg: Für $\begin{align} x,y,z\geq \frac{1}{2} \end{align}$ mit $\begin{align} xyz=1 \end{align}$ ist $\begin{align} 2z-1\geq 0 \end{align}$ sowie nach AMGM $\begin{align} x+y \geq 2\sqrt{xy} = \frac{2}{t} \end{align}$ , wenn wir $\begin{align} t:=\sqrt{z} \end{align}$ substituieren. Damit folgt dann $\begin{align} \frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z} - 2x-2y-2z-6 &= (x+y)\left(\frac{4}{xy}-2\right) + \frac{4}{z} - 2z-6 = 2(x+y)(2z-1) + \frac{4}{z} - 2z-6 \geq \frac{4}{t}(2t^2-1) + \frac{4}{t^2} - 2t^2-6 \\ &=-2t^2+8t-6-\frac{4}{t} + \frac{4}{t^2} = \frac{2}{t^2}(t-1)^2\left(3-(t-1)^2\right)^2 \geq 0 \end{align}$ , denn aus den Rahmenbedingungen $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \leq t\leq 2 \end{align}$ folgt $\begin{align} 3-(t-1)^2>0 \end{align}$ . Gleichheit kann nur für $\begin{align} t=1 \end{align}$ sowie $\begin{align} x=y=\frac{1}{t} \end{align}$ gelten, also $\begin{align} x=y=z=1 \end{align}$ .
24.01.2017, 18:27	Peter78	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ich habe auch versucht mit Extremwertuntersuchung, aber nichts fiel mir zurzeit ein. Wenn ich auf etwas ankomme, schreibe ich es jedenfalls hier.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »