Determinante mit Gauß lösen

24.01.2017, 19:47

Groinkwonkie

Determinante mit Gauß lösen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 6 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Obige Determinante will ich mit dem Gauß-Verfahren lösen, so wie es hier beschrieben ist:

http://www.mathebibel.de/determinante-berechnen-nach-gauss

Mir geht's darum, das Verfahren zu verstehen. Ich weiß, dass ich 2x2-Determinanten auch anders lösen kann.

Mein Problem ist Folgendes: Es müsste ja -8 rauskommen. Ich will ja aber das Gauß-Verfahren anwenden:

Ich teile die erste Zeile durch 2 und dann die 2.Zeile durch 2. Dann müsste ich doch die Determinante am Ende noch mit 4 multiplizieren, oder?

2 * 2 * [/latex] \begin{vmatrix}
2 & 1\\
3 & \frac{1}{2}
\end{vmatrix} [/latex]

Dann rechne ich 2*2.Zeile - 3*1.Zeile und erhalte

2 * 2 * [/latex] \begin{vmatrix}
2 & 1\\
0 & -2
\end{vmatrix} [/latex]

Dann multipliziere ich die Hauptdiagonale: 2*(-2) = -4. Jetzt muss ich das ganze ja aber noch mit 4 multiplizieren dann kommt ja -16 raus.

Was mache ich denn da falsch?

24.01.2017, 20:33

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen

Zitat:

Original von Groinkwonkie
Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 6 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dann rechne ich 2*2.Zeile - 3*1.Zeile und erhalte

Was mache ich denn da falsch?

Schreibe dir das mal ausführlich auf, dann siehst du, dass du 1/2 und 1/3 ausklammern musst.

24.01.2017, 22:00

Matthias292

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RE: Determinante mit Gauß lösen
Hallo,

warum du die Zeilenumformung in zwei (dazu noch komplizierten) Schritten, statt in einem?

Du kannst doch einfach so machen: 2' Zeile = 2. Zeile + (-1,5) * 1. Zeile

Dann bekommst du folgende Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da du hier das vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert hast, musst du auch nichts mehr multiplizieren, so gilt: 4*(-2) = -8

Gruß

25.01.2017, 12:05

Groinkwonkie

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RE: Determinante mit Gauß lösen
@outSchool

Hier ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 6 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich teile beide Zeilen durch 2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ich rechne 2*2.Zeile - 3*1.Zeile:

6 1
- 6 3
--------
0 -2

Neue Determinante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hauptdiagonale multiplizieren: 2*(-2) = -4, aber ich muss noch mit 4 multiplizieren, also -16...?

Sorry, aber ich sehe einfach meinen Fehler nicht... tut mir Leid, wenns was total Dummes is...

@Matthias292

Ja, es geht auch einfacher, aber ich wollte das mit dem Teilen und Multiplizieren nachvollziehen.

25.01.2017, 12:35

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen

Zitat:

Original von Groinkwonkie
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ich rechne 2*2.Zeile - 3*1.Zeile:

6 1
- 6 3
--------
0 -2

Der erste Schritt ist
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

dann
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}D \end{vmatrix} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 3\\ 3 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und zuletzt
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}D \end{vmatrix} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 3\\ 6 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Wert der Determinante darf sich nicht ändern, deshalb müssen entsprechend Faktoren vor die Determinante gezogen werden.

25.01.2017, 14:35

Groinkwonkie

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RE: Determinante mit Gauß lösen
@outSchool

Okay, also ich glaub, langsam verstehe ich worums geht.

Da ich 3*2. Zeile - 2*1.Zeile rechne, muss ich später durch 3 und durch 2 dividieren. Das meinst du, oder?

ABER:

Auf der Webseite, die ich zitiert habe, steht:

"Eigenschaft 1: Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich die Determinante nicht."

Das gilt ja doch auf für die Subtraktion oder?

Und in dem Beispiel, dass da vorgerechnet wird, wird eben nicht anschließend durch das n-fache dividiert....

Ich habe bei mir ja nicht direkt in der Determinante die 2. Zeile mit 3 und dann die erste Zeile mit 2 multipliziert und dann die beiden Zeilen subtrahiert, sondern ich wollte von einem Vielfachen der 2. Zeile ein Vielfaches der ersten abziehen.

Wenn ich das mache, dann ändert sich doch die erste Zeile nicht und die zweite Zeile ist das Ergebnis der Subtraktion. Oder meint der Autor was anderes?

25.01.2017, 14:41

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen

Zitat:

Original von Groinkwonkie
@outSchool
"Eigenschaft 1: Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich die Determinante nicht."

Das gilt ja doch auf für die Subtraktion oder?

Ja, das gilt auch für die Subtraktion.
Allerdings muss man jetzt aufpassen, dass die Zeilen nicht vertauscht werden.
Werden zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

25.01.2017, 15:11

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen
Hallo Groinkwonkie,

ich habe meinen letzten Beitrag nochmal geändert.

25.01.2017, 15:12

Groinkwonkie

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RE: Determinante mit Gauß lösen
@outSchool

Wo werden denn in meiner Rechnung 2 Zeilen vertauscht? Und was hat das mit der Division zu tun?

25.01.2017, 15:36

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen

Zitat:

Original von Groinkwonkie
Meine Frage:
Dann rechne ich 2*2.Zeile - 3*1.Zeile und erhalte

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich die Hauptdiagonale: 2*(-2) = -4. Jetzt muss ich das ganze ja aber noch mit 4 multiplizieren dann kommt ja -16 raus.

Was mache ich denn da falsch?

Ich habe mir jetzt nochmal die Webseite angesehen, die du oben angegeben hast. Dort steht:

Eigenschaft 1: Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich die Determinante nicht.
Du addierst aber zum Vielfachen einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile. Da entfällt deswegen der Faktor 2 für die erste Zeile vor der Determinante.

25.01.2017, 15:53

Groinkwonkie

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RE: Determinante mit Gauß lösen
Aber die beiden Zweier stehen da ja als Faktoren, weil ich zuerst beide Zeilen durch 2 teile...?

25.01.2017, 16:16

outSchool

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RE: Determinante mit Gauß lösen
Mach doch mal den ersten Schritt so:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 6 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann rechne 2. Zeile - 3* 1.Zeile, dann ergibt das

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}D \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt deine 2 Schritte - "Ich teile die 2. Zeile durch 2" und "Dann rechne ich 2*2.Zeile" - weggelassen, weil sie sich gegenseitig aufheben.
Vielleicht siehst du jetzt warum dein Ergebnis nicht richtig ist.

25.01.2017, 16:35

Groinkwonkie

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RE: Determinante mit Gauß lösen
@outSchool

Danke für deine Geduld!! Ich denke, ich habs jetzt! Ich kann da n-fache addieren/subtrahieren, aber eben NICHT zum n-fachen einer Zeile, sondern nur zu einer Zeile.

Falls ich zum n-fachen einer Zeile addiere/subtrahiere, dann muss ich eben durch dieses n teilen. Und damit steht in meinem Fall letztendlich vor der Determinante nur eine 2, wie du gesagt hast. Es hebt sich quasi auf.

Ich hatte es die ganze Zeit falsch verstanden.

Vielen Dank!!! Schönen Abend dir!

25.01.2017, 16:40

outSchool

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Gern geschehen. smile

Dir auch einen schönen Abend.

25.01.2017, 17:12

klauss

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RE: Determinante mit Gauß lösen
Dies dürfte eine Zusammenfassung der Kernaussage sein.

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