Anfangswertproblem

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24.01.2017, 21:32	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Hallo Leute, habe hier ein AWP vor mir, bei dem ich nicht weiterkomme, hier erstmal die Aufgabenstellung: Es seien $\begin{eqnarray} t_{0}, t_{1},x_{0},x_{1} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Daraus werden dann die Intervalle $\begin{eqnarray} I=[t_{0}, t_{1}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J=[x_{0}, x_{1}] \end{eqnarray}$ sowie Funktionen $\begin{eqnarray} f: I -> \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: J ->\mathbb R \end{eqnarray}$ gebastelt. Zudem ist $\begin{eqnarray} g(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass zu $\begin{eqnarray} u_{0}\in (x_{0}, x_{1}) \end{eqnarray}$ eine Lösung $\begin{eqnarray} u: I -> \mathbb R \end{eqnarray}$ des AWP $\begin{eqnarray} \dot{u}= f(t)g(u(t)) \end{eqnarray}$ in I und $\begin{eqnarray} u(t_{o})= u_{0} \end{eqnarray}$ . Ich habe diese Gleichung jetzt wie folgt umgestellt, um einen Satz aus unserem Skript anzuwenden: $\begin{eqnarray} \frac{\dot{u}}{g(u)}=f(t) \end{eqnarray}$ Dann habe ich beide Seiten integriert und wie folgt substituiert: $\begin{eqnarray} \int_{u(t_{0})}^{u(t)} \! \frac{1}{g(v)} \, dv=\int_{u_{0}}^{u} \! \frac{1}{g(v)} \, dv=\int_{t_{0}}^{t} \! f(s) \, ds \end{eqnarray}$ Jetzt komme ich allerdings nicht mehr weiter... Mein Satz besagt, wenn ich diese Gleichung nach integrieren nach u(t) umstellen kann, dann stellt dies ja eine Abbildung von t da und dann habe ich ja auch schon meine Lösung gefunden. Das Problem ist die Integration von $\begin{eqnarray} \frac{1}{g(v)} \end{eqnarray}$ . Wäre g konstant oder meinetwegen g=v, wäre die Lösung ja machbar, aber was fange ich mit diesem Integral an? Bin für alle Tipps und Hilfen sehr dankbar
25.01.2017, 18:47	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat wirklich keiner eine Idee ? Ich war den ganzen Tag in der Uni und habe versucht mir irgendeine Stammfunktion über den natürlichen Logarithmus zu basteln, bin aber kläglich gescheitert ^^
25.01.2017, 18:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was erwartest du denn noch für Vereinfachungen, wenn nichts weiter über $\begin{align} g \end{align}$ bekannt ist? Das kannst du auch gleich fragen: "Wie lautet allgemein die Stammfunktion von $\begin{align} f \end{align}$ ?" $\begin{eqnarray} \int_{u(t_{0})}^{u(t)} \! \frac{1}{g(v)} \, dv=\int_{u_{0}}^{u} \! \frac{1}{g(v)} \, dv=\int_{t_{0}}^{t} \! f(s) \, ds \end{eqnarray}$ ist alles, was du ohne weitere Infos zu f,g tun kannst.
25.01.2017, 18:58	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja grundsätzlich will ich ja zeigen, dass eine Lösung des oben genannten Anfangswertproblems existiert... So wie es ausschaut, komme ich mit meinem Ansatz nicht weiter. Hast du vielleicht irgendeine Idee, die mir weiterhilft?
25.01.2017, 19:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne weitere Voraussetzungen an $\begin{align} g \end{align}$ würde ich nicht versuchen nachzuweisen, dass eine Lösung existiert, sondern eher ein Gegenbeispiel angeben. Nicht umsonst wird bei sowas wie Picard-Lindelöf Lipschitz-Stetigkeit von $\begin{align} g \end{align}$ vorausgesetzt.
25.01.2017, 20:08	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte gerade einen Tipp eines Kommilitonen erhalten... Wenn ich f und g als stetig voraussetze und die Substitution $\begin{eqnarray} \frac{1}{g(v)}=h(v) \end{eqnarray}$ benutze, müsste es eine $\begin{eqnarray} C^{1} \end{eqnarray}$ -Kurve $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} \dot{\phi}=\frac{f(s)}{h(\phi)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(t_{0})=u_{o} \end{eqnarray}$ . Sowas hatten wir zumindest bereits in einer Übung aus der Bibliothek schonmal gezeigt... Was meint ihr dazu?
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25.01.2017, 20:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut, Nägel mit Köpfen hinsichtlich Gegenbeispiel: $\begin{align} I=J=[1,3],\, f(t)=t,\,g(u)=u^2 \end{align}$ sowie $\begin{align} t_0=1,u_0=1 \end{align}$ Soweit erkennbar sind alle deine Voraussetzungen erfüllt (wenn du oben nichts "vergessen" hast). Aber es gibt keine Lösung des zugehörigen AWP $\begin{align} \dot{u}=u^2,\, u(1)=1 \end{align}$ auf dem gesamten (!) Intervall $\begin{align} [1,3] \end{align}$ .
25.01.2017, 20:25	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
H, ich habe jetzt wirklich alle Voraussetzungen nochmal nachgeschaut, aber bis auf $\begin{eqnarray} t_{0}<t_{1} \end{eqnarray}$ habe ich nichts vergessen Aber laut Dozent muss ich wohl irgendwie auf eine Lösung kommen
25.01.2017, 20:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, dann hast du ein Problem.
25.01.2017, 20:36	YoungsterPhysician	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem danke für die Mühe EDIT: Die zweite Teilaufgabe konnte ich immerin lösen mit: $\begin{eqnarray} \dot{u}= sin(t)u \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [0, \infty] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(0)=1 \end{eqnarray}$ Dann ist doch ie Lösung: $\begin{eqnarray} u= ee^{-cos(t)} \end{eqnarray}$

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