Markovkette Wahrscheinlichkeit ermitteln

25.01.2017, 13:26

Gast 12345

Markovkette Wahrscheinlichkeit ermitteln

Meine Frage:
Hallo,
ich habe für einen fairen Münzwurf eine Markov - Kette erstellt. Kann mir jemand sagen, wie ich nun die Wahrscheinlichkeit für mein Endergebnis ermitteln kann.
Gesucht ist danach, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Muster Zahl,Zahl vor Kopf,Zahl,Kopf kommt.

Meine Ideen:
In den Büchern die ich vor mir habe, wird immer ein Gleichungssystem erstellt, ich verstehe aber nicht, wie ich auf die einzelnen Gleichungen komme.

25.01.2017, 13:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast 12345
ich habe für einen fairen Münzwurf eine Markov - Kette erstellt.

Dann zeig doch mal, wie die aussieht. D.h., welchen Zustandsraum hast du zur Behandlung dieses Musterproblems hier gewählt, und wie lautet dazu die Übergangsmatrix?

25.01.2017, 13:55

Gast 12345

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Zustandsraum $\begin{eqnarray*} \left\{ s_{0}...s_{7} \right\} \end{eqnarray*}$

Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0\\ 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\ 0,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,5 & 0,5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.01.2017, 14:05

HAL 9000

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Es wäre noch nett zu erfahren, welche inhaltliche Bedeutung hinter $\begin{align*} s_0,\ldots,s_7 \end{align*}$ stecken. Ich vermag ohne große Rätseleien der Zuordnung momentan nur erkennen, dass $\begin{align*} s_6,s_7 \end{align*}$ die beiden absorbierenden Zustände ZZ und KZK sind, mehr nicht. verwirrt

25.01.2017, 14:21

Gast 12345

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Ach Mist, jetzt habe ich hier die verkehrte Matrix eingetippt, sorry:
Zustandsraum $\begin{eqnarray*} {s_0...s_5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ =start
$\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ =Z
$\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ =K
$\begin{eqnarray*} s_3 \end{eqnarray*}$ =ZZ
$\begin{eqnarray*} s_4 \end{eqnarray*}$ =KZ
$\begin{eqnarray*} s_5 \end{eqnarray*}$ =KZK

die dazugehörige Übergangsmatrix lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.01.2017, 14:45

HAL 9000

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Ja, sieht gut aus. Wenn man gleich zum Start zwei Würfe tätigt und erst dann in den Zustandsgraph "einsteigt", kann man sogar die Zustände $\begin{align*} s_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} s_1 \end{align*}$ streichen und so die Sache noch etwas vereinfachen, man startet dann gewissermaßen mit der Anfangsverteilung $\begin{align*} p_0 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},0\right)^t \end{align*}$ auf den verbleibenden vier Zuständen $\begin{align*} (s_2,s_3,s_4,s_5) \end{align*}$ und hat nur noch die Übergangsmatrix

$\begin{align*} P = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

zu betrachten. Nun kann man den Vektor der bedingten Wahrscheinlichkeiten (d.h. ausgehend von dem jeweiligen Zustand) für Sieg ZZ betrachten, das sei $\begin{align*} q=(q_2,q_3,q_4,q_5)^t \end{align*}$ . Zwei der Einträge kennen wir natürlich schon, nämlich $\begin{align*} q_3=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} q_5=0 \end{align*}$ . Jedenfalls gilt für diesen Vektor die Gleichung $\begin{align*} q = P^tq \end{align*}$ , die beiden fehlenden Werte $\begin{align*} q_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} q_4 \end{align*}$ lassen sich so rasch ermitteln. Aus diesen bedingten Siegwahrscheinlichkeiten lässt sich dann die totale Siegwahrscheinlichkeit via $\begin{align*} p_0^tq \end{align*}$ ermitteln, fertig.

25.01.2017, 15:28

Gast 12345

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Zitat:

Jedenfalls gilt für diesen Vektor die Gleichung $\begin{eqnarray*} q=P^tq \end{eqnarray*}$ , die beiden fehlenden Werte $\begin{eqnarray*} q_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_4 \end{eqnarray*}$ lassen sich so rasch ermitteln.

und genau hier sitz ich gerade auf dem Schlauch, ich weiß überhaupt nicht was ich tun soll, außer das mir die Begriffe Matrixmultiplikation mit Vektor und auch das Transponieren natürlich klar sind.

Vielleicht kannst du meine verdrehten Zellen nochmal anstupsen LOL Hammer

25.01.2017, 15:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast 12345
außer das mir die Begriffe Matrixmultiplikation mit Vektor und auch das Transponieren natürlich klar sind.

Wie darf ich das verstehen? Du kennst all diese Operationen, bist aber nicht gewillt, sie in der von mir vorgestellten Methode anzuwenden? verwirrt

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