Schnittgerade von Ebenen mit teils unbekannten Koordinaten

25.01.2017, 13:51

Volver Shepard

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Schnittgerade von Ebenen mit teils unbekannten Koordinaten

Hallo,

Ich hänge an dieser Aufgabe schon eine ganze Weile und komme nicht weiter.

Gegeben sind folgende Angaben (in [m]) über die Traufpunkte T1(0, 0, 6), T2(3, 4, 6), T3(x, y, 6) und die Firstpunkte F1(x, y, 8) und F2(x, y, 9) eines Gaubendaches wie in der Abbildung. Die Koordinaten des Firstpunktes F auf der Kehle sind anzugeben, und die Länge der Kehle ist zu berechnen.

Ich bin jetzt soweit, dass ich aus aus $\begin{eqnarray*} \vec{T_{1}T_{2} } = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{T_{1}F_{1} } = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Normalvektor zur ersten Ebene $\begin{eqnarray*} \vec{n_{e1} } = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 3x-4y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \vec{T_{3}T_{2} } = \begin{pmatrix} x-3 \\ y-4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{T_{3}F_{1} } = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Normalvektor zur zweiten Ebene $\begin{eqnarray*} \vec{n_{e2} } = \begin{pmatrix} -3y+12 \\ 3x-9 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gebildet habe, um dann über $\begin{eqnarray*} \vec{n}_{1}\cdot \left(\vec{r}-\vec{r}_{1}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n}_{2}\cdot \left(\vec{r}-\vec{r}_{2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ die Schnittgerade der beiden Ebenen zu finden.
Allerdings denke ich, dass ich irgendwie auf dem falschen Weg bin, da ich so nicht wirklich weiterkomme..wäre super wenn ihr mir weiterhelfen könntet smile

smile

25.01.2017, 14:24

riwe

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RE: Schnittgerade von Ebenen mit teils unbekannten Koordinaten
betrachte zuerst das Problem in R2 mit z = 6, wäre mein Vorschlag Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2017, 14:41

Volver Shepard

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Sorry, ich verstehe nicht ganz...
ich sehe auch gerade, ich habe einen Fehler beim zweiten Normalvektor, aber das scheint ja erstmal nicht das Problem zu sein Big Laugh

Big Laugh

25.01.2017, 14:57

riwe

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WAS verstehst du denn nicht verwirrt

verwirrt

, z.b. mit z = 6 hast du doch ganz einfach

$\begin{eqnarray*} T_3=(3,4)^T+\frac{7}{5}\cdot(4.-3)^T\to T_3=(8.6/-0.2) \end{eqnarray*}$

usw. die diversen Höhen kannst du ablesen, mit T2,T3,F2 stellst du die Ebenengleichung auf, mit F1 und dem bekannten Richtungsvektor schneidest du sie und hast damit F

25.01.2017, 15:27

Volver Shepard

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Danke, aber ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch...wie kommst du auf die 7/5?

25.01.2017, 15:30

riwe

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weil der abstand T2T3 = 7, und immer wenn man mißt, muß man den entsprechenden Vektor NORMIEREN.
steig manl runter vom Schlauch Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.01.2017, 17:01

Volver Shepard

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Vielen Dank! Mit Zunge

Mit Zunge

Habe nun folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} <br /> T_{3}\left(8.6, -0.2, 6\right) <br /> F_{2}\left(7.4, -1.8, 9\right)<br /> F_{1}\left(-4.6, -2.8, 8\right) <br /> F\left(-2.883, -0.244, 8\right) <br /> |\vec{T_{2}F}|=7,525m <br /> \end{eqnarray*}$

(warum ist der ganze Latex-Text rechtsbündig?)

25.01.2017, 17:12

riwe

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leider hast du dich verrechnet

25.01.2017, 17:39

Volver Shepard

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ok, wie wärs mit

$\begin{eqnarray*} F\left(0.935, 4.58, 8\right) <br /> |\vec{T_{2}F}|= 2.93m \end{eqnarray*}$

hatte mich bei der Ebenengleichung vertan..

25.01.2017, 18:19

riwe

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was soll das Raten, ohne deine Rechnung ist Hilfe schwierig verwirrt

verwirrt

25.01.2017, 18:49

Volver Shepard

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oh man bin ich blöd Big Laugh

Big Laugh

Danke, ich weiss jetzt wo der Fehler liegt, ich habe schon die Punkte falsch berechnet...ich schaus mir gleich nochmal an.

25.01.2017, 20:02

Volver Shepard

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So, diesmal stimmt es hoffentlich.

Aus den Punkten

$\begin{eqnarray*} T_{3} \left(8.6, -0.2, 6\right) F_{2} \left(10.4, 2.2, 9\right) F_{1} \left(-1.6, 1.2, 8\right) \end{eqnarray*}$

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \vec{F_{1} F} = \begin{pmatrix} -1,6 \\ 1,2 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E: -0,6x - 0,8y + z = -7,48<br /> <br /> \Rightarrow \lambda = 2,712<br /> <br /> in \vec{F_{1} F} \Rightarrow F = \left(6.536, 12.048, 8\right)<br /> <br /> \Rightarrow |\vec{T_{2} F}| = 9,015m <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Edit: nee Moment, das mit dem Schneiden funktioniert so nicht, oder?

25.01.2017, 20:37

Volver Shepard

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korrigiere:

$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow \lambda = 3,096<br /> <br /> in \vec{F_{1} F} \Rightarrow F = \left(7.688, 13.584, 8\right)<br /> <br /> \Rightarrow |\vec{T_{2} F}| = 10,855m <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

25.01.2017, 22:28

riwe

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ich erhalte $\begin{eqnarray*} \lambda=5 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

26.01.2017, 13:14

hawe

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Hallo zusammen,

ich hab die Aufgabe mit GeoGebra CAS durchgerechnet. Ich erhalte für die Ebene
E: -3 / 5 * x - 4 / 5 * y + z - 1 = 0
und für die Gerade ein lambda=7/5
=>F:=(13 / 5, 34 / 5, 8)
riwe guckst Du noch mal drüber?

26.01.2017, 14:20

riwe

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Zitat:

Original von hawe
Hallo zusammen,

ich hab die Aufgabe mit GeoGebra CAS durchgerechnet. Ich erhalte für die Ebene
E: -3 / 5 * x - 4 / 5 * y + z - 1 = 0
und für die Gerade ein lambda=7/5
=>F:=(13 / 5, 34 / 5, 8)
riwe guckst Du noch mal drüber?

ja ich habe irgendwo eine Null zuviel mitgeschleppt.

also

3x + 4y - 5z + 5 = 0 und $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{7}{5} \end{eqnarray*}$

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