Supremum: Produkt zweier Mengen A,B

25.01.2017, 15:32	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Hi, Gegeben zwei nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen $\begin{eqnarray} A,B \subseteq [0, +\infty[ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \cdot B := \{ a \cdot b \mid a \in A, b \in B\} \end{eqnarray}$ möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sup (A \cdot B) = \sup A \sup B \end{eqnarray}$ . Dazu habe ich folgenden Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} x \in AB \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} x=ab, a \in A, b \in B \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} a \leq \sup A, b \leq \sup B \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x=ab \leq \sup A \sup B \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \sup A \sup B \end{eqnarray}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Soweit der einfache Teil. Dass diese Schranke auch die kleinste ist, bleibt zu zeigen und entzieht sich leider meinen momentanen Fähigkeiten. (Daher wende ich mich an euch! ) Ich denke, dass vielleicht ein indirekter Beweis angebracht wäre, das lief bisher aber nicht so gut. Letztlich handelt es sich bei der Aufgabe um eine Bonusaufgabe, und ich wüsste gerne, wie hier die Herangehensweise aussieht. Danke im Voraus!
25.01.2017, 16:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Wenn du zeigen kannst, dass eine Folge $\begin{eqnarray} (c_n) \subset AB \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} c_n \to \sup(A) \sup(B) \end{eqnarray}$ konvergiert, kann es keine kleinere Schranke geben. (Warum?)
25.01.2017, 20:26	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Warum?: Angenommen es gibt eine solche Folge $\begin{eqnarray} (c_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ . Sei dann $\begin{eqnarray} s < \sup A \sup B \end{eqnarray}$ eine obere Schranke. Wegen $\begin{eqnarray} c_n \xrightarrow{n\to\infty} \sup A \sup B \end{eqnarray}$ finden wir ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} c_k > s \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} c_k \in AB \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ keine obere Schranke ist, Widerspruch. Korrekt? Gilt diese Aussage i.A., auch in die andere Richtung? Darf ich zum Beispiel aus der Existenz von $\begin{eqnarray} \sup A \end{eqnarray}$ folgern, dass eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}, a_n \xrightarrow{n \to \infty} \sup A \end{eqnarray}$ existiert? Wenn ich nicht alles völlig falsch verstanden habe, dann sollte das möglich sein, ebenso für $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Dann wäre es ja ziemlich einfach eine solche Folge $\begin{eqnarray} (c_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ zu finden.
25.01.2017, 20:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Richtig Solange $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht leer ist, gilt die Aussage immer. Man kann sich eine solche Folge konstruieren. Falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach oben beschraenkt ist kann man das so machen: Sei $\begin{eqnarray} a_1 \in A \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} a_1 \geq \sup A - 1 \end{eqnarray}$ ist. Gibt es weil sonst $\begin{eqnarray} \sup A -1 \end{eqnarray}$ eine kleinere Schranke gibt. Dann $\begin{eqnarray} a_2 \geq \sup A - \frac 1 2 \end{eqnarray}$ und allgemein $\begin{eqnarray} a_n \geq \sup A - \frac 1 n \end{eqnarray}$ . Mit dem Sandwich-Kriterium kann man dann leicht die gewuenschte Konvergenz nachweisen. Du kannst dir gerne ueberlegen, wie man die Folge definieren kann wenn $\begin{eqnarray} \sup A = \infty \end{eqnarray}$ .
25.01.2017, 21:24	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Sehr cool! Sandwich-Kriterium? Wenn $\begin{eqnarray} \sup A = \infty \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \sup AB = \infty \end{eqnarray}$ , da wir beliebig große $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ finden - es wäre also nicht viel zu zeigen, oder? Hmm, man könnte, würde man trotzdem so eine Folge finden wollen, doch $\begin{eqnarray} a_n \geq n \end{eqnarray}$ wählen? Mit der selben Argumentation: Gäbe es für ein $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ kein $\begin{eqnarray} a_n \geq n \end{eqnarray}$ , so wäre ebendieses $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine obere Schranke, Widerspruch. Dass dann $\begin{eqnarray} a_n \xrightarrow{n \to\infty} \infty \end{eqnarray}$ gilt, ist auch klar. Danke! :3
26.01.2017, 10:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach oben unbeschränkt meinte ich nur die Existenz einer Folge in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die bestimmt gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ divergiert. Die Aussage $\begin{eqnarray} \sup A = \infty \end{eqnarray}$ impliziert nur $\begin{eqnarray} \sup AB = \infty \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} B \neq \{ 0 \} \end{eqnarray}$ . Die Aussage gilt in diesem Fall auch noch unter der Konvention $\begin{eqnarray} \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ , aber darum muss man sich netterweise keine Gedanken machen: $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ sind ja beschränkt. Ich habe den Fall $\begin{eqnarray} \sup A = \infty \end{eqnarray}$ also nur wegen der Folgeneigenschaft angesprchen. Und ja, genauso zeigt man das. Das Sandwich-Lemma hat extrem viele Namen: Einschlusskriterium, Quetschlemma, ... In kurz sagt das aus: $\begin{eqnarray} x_n \leq y_n \leq z_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim x_n = \lim z_n = a \end{eqnarray}$ , dann auch $\begin{eqnarray} \lim y_n = a \end{eqnarray}$ .
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26.01.2017, 17:04	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Ah, das kommt mir dann doch bekannt vor. Danke nochmal, dass Du mir geholfen hast - ich freue mich immer riesig, wenn ich mir ein neues Werkzeug für Beweise aneignen kann.
26.01.2017, 17:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum: Produkt zweier Mengen A,B Gerne

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