Bedingung für Teilbarkeit

25.01.2017, 21:36	Plüschpopo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingung für Teilbarkeit Hallo Leute, sitze mit einem Kommilitonen den halben Tag an dieser Aufgabe und wir wissen einfach nicht wie wir da vorgehen sollen. Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie für Welche $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ die bedingung $\begin{eqnarray} n + 2 \| n^2 + 5 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Wir haben überlegt es in die Form $\begin{eqnarray} b = k a + r \end{eqnarray*}$ zu bringen aber das bringt uns auch irgendwie nicht weiter. Und mit Vollständiger Induktion wissen wir nicht wie wir am besten anfangen sollen.
25.01.2017, 22:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} n^2+5 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} n+2 \end{eqnarray}$ teilbar ist, muss $\begin{eqnarray} \frac{n^2+5}{n+2}\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ sein. Nun ist $\begin{eqnarray} \frac{n^2+5}{n+2}=\frac{(n^2-4)+9}{n+2}=n-2+\frac{9}{n+2} \end{eqnarray}$ . Und damit kann man jetzt die gesuchten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ finden.
26.01.2017, 13:49	Plüschpopo	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke! bin gestern noch mit Polynomdivision auf diese Form gekommen. Jetzt frage ich mich aber wie ich am besten die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ rausfinden kann, weil mit vollständiger Induktion würde ich das ja zeigen für $\begin{eqnarray} n \Rightarrow n + 1 \end{eqnarray}$ aber wie ich die Aufgabe verstanden habe muss ich ja sagen für welche $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ das gilt. Es wäre Super wenn du mir noch einen Tipp geben könntest oder vielleicht einen Ansatz :-)
26.01.2017, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
"Vollständige Induktion" hat hier nun gar nichts zu suchen. Aus der Gleichung $\begin{align} \frac{n^2+5}{n+2} = n-2 + \frac{9}{n+2} \end{align}$ kann man für natürliche $\begin{align} n \end{align}$ ablesen, dass $\begin{align} \frac{n^2+5}{n+2} \end{align}$ genau dann ganzzahlig ist, wenn dies auch auf $\begin{align} \frac{9}{n+2} \end{align}$ zutrifft, d.h. $\begin{align} (n+2) \mid 9 \end{align}$ gilt. Und da gibt es nicht mehr viele Möglichkeiten für $\begin{align} n \end{align}$ : Es sind nur zwei - schau dir doch mal die in Frage kommenden Teiler der Zahl 9 an!
26.01.2017, 14:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme nach geduldigem abzählen auf genau 6 (ganzzahlige) Lösungen. HAL9000 hat mal wieder Recht, genau 2 davon sind positiv.
26.01.2017, 20:04	Plüschpopo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mir das grad nochmal angeschaut und damit $\begin{eqnarray} (n+2)\|9 \end{eqnarray}$ gelten muss kommt für ein positives $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} n = 7 \end{eqnarray}$ in frage. Liege ich da Richtig? Wenn ich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ größer wähle gilt nicht $\begin{eqnarray} \frac{n^2+5}{n+2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in Z \end{eqnarray}$ . Also muss $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n = 7 \end{eqnarray}$ gewählt werden damit $\begin{eqnarray} (n+2)\|9 \end{eqnarray}$ gilt.
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26.01.2017, 20:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Wenn wir nicht nur natürliche, sondern beliebige ganze Zahlen zulassen würden (siehe Elvis' Anmerkung), dann hätten wir die Lösungen $\begin{align} (n+2)\in\{-9,-3,-1,1,3,9\} \end{align}$ , entsprechend verschoben dann $\begin{align} n\in\{-11,-5,-3,-1,1,7\} \end{align}$ , nur die letzten beiden sind natürliche Zahlen.

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