Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium

26.01.2017, 11:55

Sven_01

Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium

Meine Frage:
Hallo,
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter bzw. bin mir nicht ganz sicher ob mein bisheriges vorgehen richtig ist. Wäre nett wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet.

Zeigen sie mit Hilfe des Epsilon-Delta-Formalismus, das
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \ bei\ x_0= 5 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} |x-5|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{5}} \right| <\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{|x-5|}{5*\sqrt{x}+x*\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|x-5|}{5*\sqrt{x}+x*\sqrt{5}} < \frac{\delta}{5*\sqrt{x}+x*\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Jetzt dachte ich mir durch abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{5*\sqrt{x}+x*\sqrt{5}}< \frac{\delta}{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

aber das passt leider nicht für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Hätte jemand eine Idee wie ich das passend abschätzen kann ?

Vielen Danke schon mal im Voraus smile

26.01.2017, 13:08

klarsoweit

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium

Zitat:

Original von Sven_01
aber das passt leider nicht für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Wo ist das Problem? Für x > 1 ist jedenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{5*\sqrt{x}+x*\sqrt{5}}< \frac{\delta}{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ . smile

26.01.2017, 13:37

Sven_01

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium
Okay

also kann ich weiter schreiben

$\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon *(5+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Reicht das nun schon um zu sagen das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sqrt{x}} bei x_o = 5 \end{eqnarray*}$ stetig ist?

oder fehlen jetzt noch weitere Schritte?

26.01.2017, 14:32

klarsoweit

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium

Zitat:

Original von Sven_01
also kann ich weiter schreiben

$\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon *(5+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Da wir ja wollen, daß x > 1 ist, mußt du $\begin{eqnarray*} \delta = min(\epsilon \cdot (5+\sqrt{5}); 4) \end{eqnarray*}$ wählen.

Und es wäre schön, wenn du dann mit der obigen Wahl die Ungleichungskette in der "richtigen" Richtung durchläufst, also aus $\begin{eqnarray*} |x-5|<\delta \end{eqnarray*}$ folgerst, daß $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{5}} \right| <\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

26.01.2017, 15:04

Sven_01

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium
wie kommt man auf die 4 bei $\begin{eqnarray*} \delta = min (\epsilon*5+\sqrt{5});4) \end{eqnarray*}$ verwirrt

26.01.2017, 15:37

klarsoweit

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium
Wir wollen doch haben, daß x > 1 ist. Von der Stelle x_0 = 5 dürfen wir uns somit maximal 4 wegbewegen. Damit ist also der Wert von dem Delta, das ja das Intervall um die Stelle x_0 festlegt, maximal 4 groß. Der Fall tritt ja auch nur dann ein, wenn man Epsilon relativ groß wählt. Bei kleinem Epsilon (beispielsweise Epsilon = 1/10) ist das Delta eh kleiner als 4. smile

26.01.2017, 17:09

Sven_01

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RE: Stetigkeit über Epsilon-Delta Kriterium
Ah, Okay habs verstanden. Danke für die Hilfe smile

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