Konvergenz von Reihen

26.01.2017, 18:26	Daniel_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Meine Frage: Hi, ich habe ein Aufgabe aus einer alt Klausur und wollte wissen ob mein Ergebnis so richtig ist. Für welche $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^nn!}{n^n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich habe hier das Quotientenkriterium angewandt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\left\|\frac{x^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{x^nn!} \right\| \end{eqnarray}$ Umgeformt und gekürzt ergibt das: $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\|x\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{e}\|x\| \end{eqnarray}$ Also müsste gelten $\begin{eqnarray} \{x \in \mathbb{R}\| -e<x<e\} \end{eqnarray*}$ Wäre das so richtig ? Vielen Dank schon mal Im Voraus für die Hilfe
26.01.2017, 18:38	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein bisheriges Ergebnis ist richtig, aber du musst dir noch ansehen, was in den kritischen Stellen $\begin{align} x\in\{-e,e\} \end{align}$ passiert. Tipp: Sieh dir den Betrag an, d.h. nur den Punkt $\begin{align} x=e \end{align}$ und zeige, dass die summierte Folge in diesem Fall monoton wächst.
26.01.2017, 19:05	Daniel_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. das bekomme ich hin. Danke

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