Grenzverhalten

26.01.2017, 20:27

wosw

Grenzverhalten

Habe zwei Folgen die ich nicht lösen kann. Diese sind:
$\begin{eqnarray*} 1) \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x}- e^{-x}-2x}{x-sin(x)} 2) \lim_{x \to 1} (1-x)tan(\frac{\pi x}{2} ) \end{eqnarray*}$

Zu 1)
bin durch umformung auf nichts gekommen, einzige meine Idee ist hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)} \end{eqnarray*}$
damit kann ich aber auch nichts anfangen :/

zu 2)
umgeformt mit t $\begin{eqnarray*} an(x)=\frac{\sin(2x)}{cos(2x)+1} \end{eqnarray*}$
sodass:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)+1}}{1-x}=\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{(\cos(\pi x)+1)(1-x)}=\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)+1-x\cos(\pi x)-x} \end{eqnarray*}$
und da ginge wieder hospital, aber ich weiß nicht wie micht das in dem fall weiterbringt..
Schon mal danke für die Hilfe smile

26.01.2017, 20:40

HAL 9000

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1) Zerlegung $\begin{align*} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)} = \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x}\cdot \frac{x}{x-\sin(x)} = \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x}\cdot \frac{1}{1-\frac{\sin(x)}{x}} \end{align*}$ könnte helfen.

2) Substitution $\begin{align*} x=1-\frac{2}{\pi}u \end{align*}$ liefert

$\begin{align*} \lim_{x\to 1} (1-x)\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \lim_{u\to 0} \frac{2}{\pi}u\tan\left(\frac{\pi}{2}-u\right) = \frac{2}{\pi} \lim_{u\to 0} u\cot(u)= \frac{2}{\pi} \lim_{u\to 0} \frac{u}{\sin(u)}\cos(u) \end{align*}$ ,

letzteres sollte bekannt sein.

26.01.2017, 23:12

wosw

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Danke für deine Antwort.
Ich komme aber immer noch nicht drauf, ich sehen zwar dass bei 1) das zweite Produkt(der Bruch) gegen eins geht, aber wogegen $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x }{x} \end{eqnarray*}$ kann ich immer noch nicht erkennen, mein erster gedanke war durch e^x zu teile, das bringt mich zumindest auch nicht weiter, was mich stört ist dass e^x und x gemischt ist, denn im zöhler gehts gegen null und imm nenner auch und ich nicht abschätzen kann was davon wie schnell im verhältnis zueinander ist, oder so.

zu 2) du änderst hier ja den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} zu \lim_{x \to b} \end{eqnarray*}$ , ich kenne das mir dieser Methode:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x = \lim_{h \to 0} 1+h \end{eqnarray*}$
Das machst du ja auch nur du hast da ja noch einen Faktor vor deinem x, darf man das immer einfach so machen? Danach habe ich wieder das selbe Problem wie vorhin, cos(x) geht ganz klar gegen eins und jetzt sollte ich wissen wohin $\begin{eqnarray*} \frac{u}{\sin(u)} \end{eqnarray*}$ geht aber das kannn ich aber wieder nicht sehen. Ich habe das Gefühl das ich irgendwas ganz einfach falsch mache aber ich komm nicht drauf was.
Also das sind jetzt eine Menge Fragen, danke nochmal für die Antwort Big Laugh

27.01.2017, 07:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von wosw
denn im zöhler gehts gegen null und imm nenner auch

Moment mal: Oben hattest du $\begin{align*} \lim_{x \to {\color{red}\infty}} \frac{e^{x}- e^{-x}-2x}{x-\sin(x)} \end{align*}$ geschrieben. Kann es sein, dass du nun plötzlich stattdessen $\begin{align*} \lim_{x \to {\color{red}0}} \frac{e^{x}- e^{-x}-2x}{x-\sin(x)} \end{align*}$ meinst??? geschockt

Falls letzteres zutrifft, bringt meine Zerlegung natürlich nichts. Hier ist dann z.B. direkt L'Hospital angesagt (dein obiges "kann ich aber auch nichts anfangen" mag für $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ zutreffend gewesen sein, für $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ ist es nur eine voreilige Kapitulation, die nicht sein muss). Oder man wendet die Reihenentwicklung von Exponential- und Sinusfunktion an.

Zitat:

Original von wosw
jetzt sollte ich wissen wohin $\begin{eqnarray*} \frac{u}{\sin(u)} \end{eqnarray*}$ geht

Ja, solltest du wissen, ist ein Standardgrenzwert. Und wenn du es noch nicht weißt, dann rechne ihn aus (z.B. L'Hospital).

Zitat:

Original von wosw
darf man das immer einfach so machen?

"immer" ist zu allgemein. Wenn man es genauer ausdrücken will, muss man ein wenig weiter ausholen:

Die Substitution $\begin{align*} x=g(u) \end{align*}$ muss natürlich die Eigenschaft haben, dass eine (klein genug gewählte) Umgebung $\begin{align*} U_{\varepsilon}(x_0) \end{align*}$ durch eine entsprechende Umgebung $\begin{align*} U_{\delta}(u_0) \end{align*}$ vollständig abgedeckt wird, d.h., $\begin{align*} g\left(U_{\delta}(u_0)\right)\supseteq U_{\varepsilon}(x_0) \end{align*}$ . Das ist z.B. erfüllt, wenn $\begin{align*} g \end{align*}$ in $\begin{align*} u_0 \end{align*}$ stetig ist mit $\begin{align*} g(u_0)=x_0 \end{align*}$ und lokal streng monoton. Für lineare Substitutionen wie $\begin{align*} x = g(u) = 1-\frac{2}{\pi}u \end{align*}$ mit $\begin{align*} u_0=0,x_0=1 \end{align*}$ ist das problemlos erfüllt.

27.01.2017, 21:56

wosw

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oh, entschuldige, beim limes habe ich mich tatsächlich verschrieben.

zu 1)

ich habe jetzt einfach so oft l'hospital angewandt bis ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x}+e^{-x} }{cos(x)} \end{eqnarray*}$
stehen hatte, und da ist der grenzwert 0, weil cos ja gegen 1 geht und die beiden e funktionen sich gegenseitig aufheben, schließlich sind si an der y achse gespiegelt. Nur sagt wolframalpha dass der grenzwert 2 ist, also muss ich da etwas falsch machen.

zu 2)

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{\sin(u) } \end{eqnarray*}$ l'hospital führt zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(u) } \end{eqnarray*}$ d.h. der Grenzwert gegen null lautet 1.

sry dass die antwort von mir so lang gebraucht hat. smile

28.01.2017, 13:29

wosw

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korrektur:
ich weiß nicht wie ich das falsch machen konnten aber e^x+e^-x ist zwei, also ist der grenzwert 2

28.01.2017, 15:40

wosw

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hab ganz vergessen dazuzuschreiben dass der grenzwert der zweiten folge $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist, weil ja alles im limes 1 wird.

02.02.2017, 13:19

HAL 9000

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Upps, hab den Thread aus den Augen verloren. Na für den Fall, dass du doch nochmal vorbeischaust:

Zitat:

Original von wosw
aber e^x+e^-x ist zwei, also ist der grenzwert 2

Richtig.

Zitat:

Original von wosw
der grenzwert der zweiten folge $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist, weil ja alles im limes 1 wird.

Zahlendreher! Das richtige Endergebnis ist $\begin{align*} \frac{2}{\pi} \end{align*}$ , siehe oben!

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