Direktes Differenzieren

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26.01.2017, 20:30	Ashildr97	Auf diesen Beitrag antworten »
Direktes Differenzieren Meine Frage: Guten Abend zusammen. Habe ein kleines Problem, in einer Übungsaufgabe soll ich $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \int_{x}^{x^2} \! (xt)^3 \, dt \end{eqnarray}$ berechnen. Meine Ideen: Es war kein Problem, das Integral zu bilden und danach nach x zu differenzieren, aber die zweite Aufgabenstellung ist, dass ich es nochmal durch "direktes Differenzieren" machen soll.Meine Internetrecherche hat leider nichts ergeben und ich weiß nicht wirklich, was damit gemeint ist, vielleicht ist es etwas ganz banales, oder aber etwas Spezielles. Würde mich sehr über Hilfe freuen. lg
26.01.2017, 20:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Integral hat die Form $\begin{eqnarray} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\, dt \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} F(x, \cdot) \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} t\mapsto f(x,t) \end{eqnarray}$ ; dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\, dt=\left[F(x,t)\right]_{t=a(x)}^{b(x)}=F(x,b(x))-F(x,a(x)) \end{eqnarray}$ . Mithilfe der Kettenregel kannst du jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\, dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \left(\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right)\, dt +f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdot a'(x) \end{eqnarray}$ . (Zumindest, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (wie in deinem Fall) stetig partiell differenzierbar ist.)
26.01.2017, 21:13	Ashildr97	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die rasche Antwort, bei dem konkreten Beispiel hat es funktioniert. Ich verstehe deine Erklärung allerdings nur bis $\begin{eqnarray} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\, dt=\left[F(x,t)\right]_{t=a(x)}^{b(x)}=F(x,b(x))-F(x,a(x)) \end{eqnarray}$ . Der Teil mit der Kettenregel ist mir leider nicht ganz klar und ich würde es wirklich gerne verstehen und nicht nur eine Formel auswendig lernen. Vielleicht könntest du mir in ein oder zwei Zwischenschritten erklären, wie du auf die letzte Zeile kommst?
26.01.2017, 21:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was erhältst du denn mit der Kettenregel für $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (F(x,b(x)) \end{eqnarray}$ ?
26.01.2017, 21:36	Ashildr97	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt, natürlich $\begin{eqnarray} f(x,b(x))\cdot b'(x) \end{eqnarray}$ . Aber wie kommst u auf den vordersten Term,also das Integral der Ableitung?
26.01.2017, 21:41	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt noch ein bisschen was; das ist nur ein Summand der Ableitung.
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26.01.2017, 21:48	Ashildr97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmmmm wäre das dann $\begin{eqnarray} \frac{dF}{dx} = \frac{dF}{db(x)} \frac{db(x)}{dx} \end{eqnarray}$ wahrscheinlich nicht, weil von einem Summanden ist da nichts zu sehn...
26.01.2017, 21:57	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider immer noch nicht. Richtig ist $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(F(x,b(x)))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,b(x))\cdot 1+\frac{\partial F}{\partial t}(x,b(x))\cdot b'(x) \end{eqnarray}$ . Nun ist aber $\begin{eqnarray} F(x, \cdot) \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} t\mapsto f(x,t) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial t}=f \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(F(x,b(x)))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,b(x))+f(x,b(x))\cdot b'(x) \end{eqnarray}$ . Soweit klar? Analog erhält man $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(F(x,a(x)))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,a(x))+f(x,a(x))\cdot a'(x) \end{eqnarray}$ Um auf die Gleichung in meinem ersten Beitrag zu kommen, musst du dir jetzt noch überlegen, warum $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial x}(x,b(x))-\frac{\partial F}{\partial x}(x,a(x))= \int_{a(x)}^{b(x)} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right)\, dt \end{eqnarray}$ gilt.
26.01.2017, 22:04	Ashildr97	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaube ich habs, es ist das fertige Integral mit eingesetzten Grenzen. Danke
26.01.2017, 22:35	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner Zwischenschritt ist es noch, den man zumindest kurz erwähnen sollte, nämlich das Vertauschen der Differentiationsreihenfolge: $\begin{eqnarray} \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,b(x))-\frac{\partial F}{\partial x}(x,a(x)) &= \int_{a(x)}^{b(x)} \left(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}(x,t) \right)\, dt \\ &= \int_{a(x)}^{b(x)} \left(\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}(x,t) \right)\, dt \\ &= \int_{a(x)}^{b(x)} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right)\, dt \end{aligned} \end{eqnarray}$

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