Konvergenz einer Reihe

27.01.2017, 10:14

Daniel_09

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Moin,

ich habe hier noch eine Aufgabe aus einer alten Klausur und wollte von euch wissen ob ich so richtig gerechnet habe, da ich keine Ergebnisse für diese Aufgabe habe.

Untersuchen sie auf Konvergenz.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n-1}}{2^{2(n-1)}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Unter Anwendung des Qoutientenkriteriums

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)^{n}}{2^{2n}}*\frac{2^{2(n-1)}}{(n+1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}}{2^{2n}*2^2}*\frac{(n+2)^n*(n+1)}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}*(n+1)\left(\frac{1}{n+1}+1\right)^n = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \infty > 1 \end{eqnarray*}$ damit ist die Reihe divergent.

Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob das so richtig ist oder falls nicht was ich falsch gemacht habe.

27.01.2017, 10:29

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Keine Einwände. Freude

27.01.2017, 11:23

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
Super!

ich hätte hier noch eine Aufgabe bei der weiß ich aber nicht so recht weiter

Es soll gezeigt werden für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

die Reihe konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n-1}*\sqrt{9n+1}}{3^{n+2}*\sqrt{4n+3}}*(x+5)^n \end{eqnarray*}$

ich habe es mit dem Quotienkriterium versucht und erhalte dann nach Umformung diesen Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3}*\frac{\sqrt{36n^2+67n+30}}{\sqrt{36n^2+67n+7}}*(x+5) \end{eqnarray*}$

der Wurzelteil läuft gegen 1 dann hätte ich noch $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}*(x+5) \end{eqnarray*}$ aber das ist ja so schon größer 1 und würde bedeuten das die Reihe gar nicht konvergiert. verwirrt

27.01.2017, 11:27

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Daniel_09
dann hätte ich noch $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}*(x+5) \end{eqnarray*}$ aber das ist ja so schon größer 1 und würde bedeuten das die Reihe gar nicht konvergiert. verwirrt

Nicht so voreilig. Zum einen mußt du das (x+5) zwischen Betragsstriche stellen und zum anderen hängt es ja von dem x ab, ob das kleiner oder größer-gleich 1 ist. Augenzwinkern

27.01.2017, 11:42

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
Also konvergiert diese Reihe nur für x= -5 ?

27.01.2017, 11:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Nö. Siehe mal den Plot:

Das sollte helfen, das passende Intervall für das x zu finden. smile

27.01.2017, 12:06

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
$\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb{R}| -5\frac{3}{4}<x < -4\frac{1}{4} \} \end{eqnarray*}$

27.01.2017, 12:47

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
OK. Jetzt mußt du noch die Randwerte des Konvergenzintervalls untersuchen. smile

27.01.2017, 13:39

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
Heißt ich setzte jeweils die beiden werte für x einsetzten und dann muss ich nochmal das Quotienenkriterium anwenden und schauen ob das Ergebnis <1 oder >1 ist?

bei <1 könnte ich dann schreiben $\begin{eqnarray*} -5\frac{3}{4}\leq x\leq-4\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

bei >1 bleibt es bei $\begin{eqnarray*} -5\frac{3}{4}< x<-4\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

richtig ?

27.01.2017, 13:45

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ja, du mußt die beiden Randwerte in die Reihe einsetzen. Aber das Quotienenkriterium hilft dir da für Konvergenzuntersuchungen nicht weiter.

27.01.2017, 14:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Daniel_09
könnte ich dann schreiben $\begin{eqnarray*} -5\frac{3}{4}\leq x\leq-4\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Diese Art "kaufmännische Brüche" sollte man generell besser nicht verwenden, der Verwechslungsgefahr mit $\begin{align*} -5\cdot \frac{3}{4} \end{align*}$ u.ä. wegen.

Schreib also besser $\begin{align*} -\frac{23}{4}\leq x\leq -\frac{17}{4} \end{align*}$ oder von mir aus auch $\begin{align*} -5.75\leq x\leq -4.25 \end{align*}$ .

27.01.2017, 14:29

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
Stimmt das würde dann jeweils 1 ergeben..
Mit dem Wurzelkriterium genauso.

Gibt es irgendwelche Minoranten oder Majoranten die ich hier nicht erkenne ?
Oder lässt sich das irgendwie in die Geometrische Reihe überführen ? verwirrt

27.01.2017, 14:54

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Daniel_09
Oder lässt sich das irgendwie in die Geometrische Reihe überführen ? verwirrt

Wenn es so wäre, würde auch das Quotienenkriterium funktionieren.
Ich würde mir erst mal die Reihe etwas genauer anschauen und prüfen, ob die Summanden der Reihe bei den Randwerten überhaupt gegen Null konvergieren. Augenzwinkern

27.01.2017, 15:33

Daniel_09

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RE: Konvergenz einer Reihe
Okay sind beides keine Nullfolgen und daher divergent und es bleibt bei -5,75< x< -4,25

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Konvergenz einer Reihe

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